図形の性質と三角関数の極限

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半径 \(1\) 、中心角 \(\theta\) のおうぎ形の弧の長さは、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overset{\frown}{{\rm PA}}&=&1 \cdot \theta
\\[3pt]~~~&=&\theta\end{eqnarray}\)

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また、点 \({\rm P}\) から \({\rm OA}\) に垂線 \({\rm PH}\) を下ろすと、四角形 \({\rm PHAQ}\) は長方形なので、\({\rm PQ}={\rm HA}\) となるので、

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直角三角形 \({\rm OPH}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OH}&=&{\rm OP}\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&{\rm HA}
\\[3pt]~~~&=&{\rm OA}-{\rm OH}
\\[3pt]~~~&=&1-\cos\theta\end{eqnarray}\)

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\(\overset{\frown}{{\rm PA}}=\theta~,~{\rm PQ}=1-\cos\theta\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\overset{\frown}{{\rm PA}}}^2\,}{\,{\rm PQ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta^2\,}{\,1-\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

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分母に \(1-\cos\theta\) があるので、分母と分子に \(1+\cos\theta\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta^2(1+\cos\theta)\,}{\,(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta^2(1+\cos\theta)\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、\(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta^2(1+\cos\theta)\,}{\,\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\left(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,\sin\theta\,}\right)^2 \cdot (1+\cos\theta)\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を逆数として考えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}\,}\right)^2 \cdot (1+\cos\theta)\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}=1~,~\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\cos\theta=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}\right)^2 \cdot (1+1)
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\overset{\frown}{{\rm PA}}}^2\,}{\,{\rm PQ}\,}=2\) となる

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半径 \(r\) 、中心角 \(\theta\) のおうぎ形の弧の長さは、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overset{\frown}{{\rm AB}}&=&r\theta\end{eqnarray}\)

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また、点 \({\rm C}\) は弧 \({\rm AB}\) を \(2\) 等分するので \(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOD}=\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) となり、\(\triangle {\rm OAB}\) は \({\rm OA}={\rm OB}=r\) の二等辺三角形なので、\({\rm OD} \perp {\rm AB}\) で \({\rm D}\) は弦 \({\rm AB}\) の中点となるので、

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直角三角形 \({\rm OAD}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}&=&{\rm OA}\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&2{\rm AD}
\\[5pt]~~~&=&2r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=r\theta~,~{\rm AB}=2r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,r\theta\,}{\,2r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\) を逆数として考えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\,}\end{eqnarray}\)

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\(\theta \to +0\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}=1\) となる
 
 
直角三角形 \({\rm OAD}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OD}&=&{\rm OA}\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&r\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}&=&{\rm OC}-{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&r-r\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&r\left(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)

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\({\rm CD}=r\left(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)~,~{\rm AB}=2r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,r\left(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}{\,2r\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

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分子に \(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) があるので、分母と分子に \(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\left(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=1\) より、\(1-\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,2\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}\end{eqnarray}\)

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\(\theta \to +0\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=0~,~\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2(1+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\rm AB}\,}=0\) となる

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円の中心を \({\rm O}\) 、正 \(n\) 角形の隣り合う \(2\) つの頂点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、中心角 \(2\pi\) を \(n\) 等分するので、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) となるので、

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\({\rm OA}={\rm OB}=r\) より、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot r \cdot \sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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正 \(n\) 角形は \(\triangle {\rm OAB}\) と合同な三角形 \(n\) 個に分けられるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&n{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) となる
 
 
\(\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) の角 \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) と分母を揃えるために、\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\pi r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)

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\(n \to \infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\pi r^2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&\pi r^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\pi r^2\) となる

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半径 \(1\) 、中心角 \(2\theta\) のおうぎ形の弧の長さは、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overset{\frown}{{\rm AB}}&=&1 \cdot 2\theta
\\[3pt]~~~&=&2\theta\end{eqnarray}\)

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また、点 \({\rm C}\) は弧 \({\rm AB}\) を \(2\) 等分するので \(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOD}=\theta\) となり、\(\triangle {\rm OAB}\) は \({\rm OA}={\rm OB}=1\) の二等辺三角形なので、\({\rm OD} \perp {\rm AB}\) となるので、

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直角三角形 \({\rm OAD}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OD}&=&{\rm OA}\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}&=&{\rm OC}-{\rm OD}
\\[3pt]~~~&=&1-\cos\theta\end{eqnarray}\)

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\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=2\theta~,~{\rm CD}=1-\cos\theta\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\overset{\frown}{{\rm AB}}}^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,(2\theta)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,4\theta^2\,}\end{eqnarray}\)

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分子に \(1-\cos\theta\) があるので、分母と分子に \(1+\cos\theta\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\,}{\,4\theta^2(1+\cos\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,4\theta^2(1+\cos\theta)\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、\(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,4\theta^2(1+\cos\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\left(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}\right)^2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4(1+\cos\theta)\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\theta\,}=1~,~\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\cos\theta=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&1^2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4(1+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\overset{\frown}{{\rm AB}}}^2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) となる

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円の中心を \({\rm O}\) 、正 \(n\) 角形の隣り合う \(2\) つの頂点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、中心角 \(2\pi\) を \(n\) 等分するので、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) となるので、

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\({\rm OA}={\rm OB}=r\) より、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot r \cdot \sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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正 \(n\) 角形は \(\triangle {\rm OAB}\) と合同な三角形 \(n\) 個に分けられるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&n{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) となる
 
 
[証明]

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半径 \(r\) の円の面積は \(S=\pi r^2\) となるので、

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\(\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) の角 \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) と分母を揃えるために、\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\) をかけると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\pi r^2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)

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\(n \to \infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\pi r^2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&\pi r^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=S\) が成り立つ

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[終]

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半径 \(1\) 、中心角 \(\theta\) のおうぎ形の弧の長さは、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overset{\frown}{{\rm AB}}&=&1 \cdot \theta
\\[3pt]~~~&=&\theta\end{eqnarray}\)

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また、点 \({\rm C}\) は弧 \({\rm AB}\) を \(2\) 等分するので \(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOD}=\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) となり、\(\triangle {\rm OAB}\) は \({\rm OA}={\rm OB}=1\) の二等辺三角形なので、\({\rm OD} \perp {\rm AB}\) で \({\rm D}\) は弦 \({\rm AB}\) の中点となるので、

---

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直角三角形 \({\rm OAD}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}&=&{\rm OA}\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&2{\rm AD}
\\[5pt]~~~&=&2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\theta~,~{\rm AB}=2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\) を逆数として考えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(\theta \to +0\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}=1\) となる
 
 
直角三角形 \({\rm OAD}\) において、

---

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OD}&=&{\rm OA}\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}&=&{\rm OC}-{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

\({\rm CD}=1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~,~{\rm AB}=2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\rm AB}^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,\left(2\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,4\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)

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分子に \(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) があるので、分母と分子に \(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\left(1-\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}{\,4\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,4\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=1\) より、\(1-\cos^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,4\sin^2\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\left(1+\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\right)\,}\end{eqnarray}\)

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\(\theta \to +0\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\cos\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4(1+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,{\rm AB}^2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) となる

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直角三角形 \({\rm OBH}\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}&=&{\rm OB}\sin\theta
\\[3pt]~~~&=&r\sin\theta\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OH}&=&{\rm OB}\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&r\cos\theta\end{eqnarray}\)

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また、扇形 \({\rm OAB}\) の半径より \({\rm OA}={\rm OB}=r\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm OA}-{\rm OH}
\\[3pt]~~~&=&r-r\cos\theta
\\[3pt]~~~&=&r(1-\cos\theta)\end{eqnarray}\)

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\({\rm AH}=r(1-\cos\theta)~,~{\rm BH}=r\sin\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm BH}^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,r(1-\cos\theta)\,}{\,(r\sin\theta)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,r(1-\cos\theta)\,}{\,r^2\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,r\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

分子に \(1-\cos\theta\) があるので、分母と分子に \(1+\cos\theta\) をかけると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\,}{\,r\sin^2\theta(1+\cos\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,r\sin^2\theta(1+\cos\theta)\,}\end{eqnarray}\)

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相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、\(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,r\sin^2\theta(1+\cos\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r(1+\cos\theta)\,}\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\cos\theta=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r(1+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2r\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm BH}^2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2r\,}\) となる

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円の中心を \({\rm O}\) 、正 \(n\) 角形の隣り合う \(2\) つの頂点を \({\rm A}~,~{\rm B}\) とすると、中心角 \(2\pi\) を \(n\) 等分するので、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) となるので、

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\({\rm OA}={\rm OB}=1\) より、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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正 \(n\) 角形は \(\triangle {\rm OAB}\) と合同な三角形 \(n\) 個に分けられるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&n{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)

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\(\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) の角 \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) と分母を揃えるために、\(\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,}\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\pi \cdot \displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)

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\(n \to \infty\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,} \to +0\) となるので、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\,}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\pi \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&\pi\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\pi\) となる