閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件

関数 \(f(x)=\sin x\) は連続関数であるので、

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閉区間 \([0~,~\pi]\) で最大値・最小値をもつことがわかる。

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区間の端と \(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) での値を調べると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&\sin 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~f(\pi)&=&\sin \pi
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\pi\) における \(y=\sin x\) のグラフは、

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グラフより、\(y=\sin x\) は \(x=0~,~\pi\) で最も小さい値 \(0\) 、\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最も大きい値 \(1\) をとる。

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よって、\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\pi\) における \(y=\sin x\) の値域は、

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　\(0{\small ~≦~}y{\small ~≦~}1\)

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したがって、閉区間 \([0~,~\pi]\) では、\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最大値 \(1\) 、\(x=0~,~\pi\) で最小値 \(0\) をもつ
 
 
開区間 \((0~,~\pi)\) で考えると、区間の端 \(x=0~,~\pi\) は含まれないので、

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\(0 \lt x \lt \pi\) における \(y=\sin x\) のグラフは、

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グラフより、両端が○となるので、\(y=0\) となる \(x\) は区間に含まれない。

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一方、\(y=1\) となる \(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) は区間に含まれるので、

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\(0 \lt x \lt \pi\) における \(y=\sin x\) の値域は、

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　\(0 \lt y{\small ~≦~}1\)

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よって、\(y\) は \(0\) に限りなく近づくが \(0\) にはならないので、最も小さい値は存在しない。

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したがって、開区間 \((0~,~\pi)\) では、\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) で最大値 \(1\) をもち、最小値はもたない