- 数学Ⅲ｜極限「範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理
極限 39方程式 \(\cos x-x=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことの証明方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
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範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理
解法のPoint
範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理
Point：範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理中間値の定理は、
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a~,~b]\) で連続で、\(f(a)\) と \(f(b)\) が異符号ならば、方程式 \(f(x)=0\) は \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
この定理を用いて、方程式 \(f(x)=0\) が \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを証明すると、
① 方程式の左辺を \(f(x)\) とおき、\(f(x)\) が閉区間 \([a~,~b]\) で連続であることを示す。
\(f(x)=\cos x-x\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続
② 区間の両端の値 \(f(a)~,~f(b)\) を求め、異符号であることを示す。
\(f(0)=1\gt 0~,~f(\pi)=-1-\pi\lt 0\)
③ 中間値の定理より、方程式 \(f(x)=0\) は \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a~,~b]\) で連続で、\(f(a)\) と \(f(b)\) が異符号ならば、方程式 \(f(x)=0\) は \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
この定理を用いて、方程式 \(f(x)=0\) が \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを証明すると、
① 方程式の左辺を \(f(x)\) とおき、\(f(x)\) が閉区間 \([a~,~b]\) で連続であることを示す。
\(f(x)=\cos x-x\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続
② 区間の両端の値 \(f(a)~,~f(b)\) を求め、異符号であることを示す。
\(f(0)=1\gt 0~,~f(\pi)=-1-\pi\lt 0\)
③ 中間値の定理より、方程式 \(f(x)=0\) は \(a \lt x \lt b\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ。
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詳しい解説｜範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理
極限 39方程式 \(\cos x-x=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことの証明方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
[証明] \(f(x)=\cos x-x\) とおくと、
\(\cos x\) と \(x\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(0)~,~f(\pi)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&\cos 0-0
\\[3pt]~~~&=&1-0
\\[3pt]~~~&=&1\gt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(\pi)&=&\cos \pi-\pi
\\[3pt]~~~&=&-1-\pi\lt 0\end{eqnarray}\)
よって、\(f(0)\) と \(f(\pi)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(\cos x-x=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
