- 数学Ⅲ｜極限「極限・無限級数で表された関数の不連続」の基本例題解説ページです。
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問題｜極限・無限級数で表された関数の不連続
極限 40☆関数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？また、無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) の和を \(f(x)\) とするとき、\(y=f(x)\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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極限・無限級数で表された関数の不連続
解法のPoint
極限で表された関数の不連続
Point：極限で表された関数の不連続\(x^{2n}\) を含む極限で表された関数は、\(x\) の値で場合分けをして極限を求める。
① \(|\,x\,|\lt 1~,~x=1~,~x=-1~,~|\,x\,|\gt 1\) の \(4\) つの場合に分ける。
\({\small (1)}~\)\(|\,x\,|\lt 1\) のときは、\(x^{2n}\) が \(0\) に収束することを利用して極限を求める。
\(|\,x\,|\lt 1\) のとき \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0\)
\({\small (2)}~\)\(x=1~,~x=-1\) のときは、その値を代入して極限を求める。
\((-1)^{2n}=\{(-1)^2\}^n=1\)
\({\small (3)}~\)\(|\,x\,|\gt 1\) のときは、分母と分子を \(x^{2n}\) で割り、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\) が \(0\) に収束することを利用して極限を求める。
\(|\,x\,|\gt 1\) のとき \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}=0\)
② グラフをかき、場合分けの境目 \(x=\pm 1\) で左右からの極限が一致するかを調べる。
① \(|\,x\,|\lt 1~,~x=1~,~x=-1~,~|\,x\,|\gt 1\) の \(4\) つの場合に分ける。
\({\small (1)}~\)\(|\,x\,|\lt 1\) のときは、\(x^{2n}\) が \(0\) に収束することを利用して極限を求める。
\(|\,x\,|\lt 1\) のとき \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0\)
\({\small (2)}~\)\(x=1~,~x=-1\) のときは、その値を代入して極限を求める。
\((-1)^{2n}=\{(-1)^2\}^n=1\)
\({\small (3)}~\)\(|\,x\,|\gt 1\) のときは、分母と分子を \(x^{2n}\) で割り、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\) が \(0\) に収束することを利用して極限を求める。
\(|\,x\,|\gt 1\) のとき \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}=0\)
② グラフをかき、場合分けの境目 \(x=\pm 1\) で左右からの極限が一致するかを調べる。
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無限級数で表された関数の不連続
Point：無限級数で表された関数の不連続
① 初項 \(a\) と公比 \(r\) を求め、\(a=0\) と \(a\neq 0\) の場合に分ける。
\({\small (1)}~\)\(a=0\) のときは、無限等比級数は収束し、和は \(0\) となる。
\({\small (2)}~\)\(a\neq 0\) のときは、\(|\,r\,|\lt 1\) ならば収束し、和は次の式で求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
② グラフをかき、場合分けの境目で極限値と関数の値が一致するかを調べる。
※ 定義域の端では、片側からの極限を利用する。
無限等比級数で表された関数は、初項が \(0\) かどうかで場合分けをして和を求める。
① 初項 \(a\) と公比 \(r\) を求め、\(a=0\) と \(a\neq 0\) の場合に分ける。
\({\small (1)}~\)\(a=0\) のときは、無限等比級数は収束し、和は \(0\) となる。
\({\small (2)}~\)\(a\neq 0\) のときは、\(|\,r\,|\lt 1\) ならば収束し、和は次の式で求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
② グラフをかき、場合分けの境目で極限値と関数の値が一致するかを調べる。
※ 定義域の端では、片側からの極限を利用する。
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詳しい解説｜極限・無限級数で表された関数の不連続
極限 40☆関数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？また、無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) の和を \(f(x)\) とするとき、\(y=f(x)\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
関数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}\) について、
\(x\) の値で場合分けをして、\(f(x)\) を求める。
\({\small [\,1\,]}~\) \(|\,x\,|\lt 1\) のとき、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n+1}=0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+0+1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1^{2n+1}+1^{2n}+1\,}{\,1^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~\) \(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,(-1)^{2n+1}+(-1)^{2n}+1\,}{\,(-1)^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,\{(-1)^2\}^n \cdot (-1)+\{(-1)^2\}^n+1\,}{\,\{(-1)^2\}^n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,\{(-1)^2\}^n \cdot (-1)+\{(-1)^2\}^n+1\,}{\,\{(-1)^2\}^n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,4\,]}~\) \(|\,x\,|\gt 1\) のとき、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|\lt 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{2n}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
分母と分子を \(x^{2n}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x+1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+1+0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&x+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)〜\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
x+1 & (x\lt -1)
\\[3pt] \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & (x=-1)
\\[5pt] 1 & (-1\lt x\lt 1)
\\[3pt] \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} & (x=1)
\\[5pt] x+1 & (x\gt 1)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(x\neq\pm 1\) では、\(f(x)\) は定数関数または \(1\) 次関数なので連続である。
場合分けの境目 \(x=1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1-0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1+0}(x+1)
\\[3pt]~~~&=&1+1
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致しないので、\(x=1\) で不連続となる。
場合分けの境目 \(x=-1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to -1-0}(x+1)
\\[3pt]~~~&=&-1+1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致しないので、\(x=-1\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=\pm 1\) となる
無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) について、
初項は \(a=x\)、
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~\) \(x=0\) のとき、
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となるので、
\(f(0)=0\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x\neq 0\) のとき、
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、この無限等比級数は \(0{\small ~≦~}x\lt 2\) で収束し、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
0 & (x=0)
\\[3pt] 1 & (0\lt x\lt 2)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(0\lt x\lt 2\) では、\(f(x)\) は定数関数なので連続である。
\(x=0\) は定義域 \(0{\small ~≦~}x\lt 2\) の左端なので、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(x=0\) のときの値は、
\(f(0)=0\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=f(0)\) が成り立たないので、\(x=0\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=0\) となる
