このページは、「極限・無限級数で表された関数の不連続」の練習問題アーカイブページとなります。
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極限・無限級数で表された関数の不連続 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の無限級数はすべての実数 \(x\) に対して収束することを示せ。また、その和を \(f(x)\) として、関数 \(y=f(x)\) のグラフをかけ。また、\(y=f(x)\) が不連続となる \(x\) の値を求めよ。
\(x^2+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(1+x^2)^{n-1}\,}+\cdots\)
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数研出版｜数学Ⅲ[708] p.71 演習問題B 6
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 11
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 11
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無限等比級数 \(x^2+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}+\cdots\) について、
初項は \(a=x^2\)、
各項に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) となる
また、初項 \(a=x^2\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~\) \(x=0\) のとき、
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となるので、
\(f(0)=0\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x\neq 0\) のとき、
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(x^2\gt 0\) より \(1+x^2\gt 1\) となるので、
\(0\lt\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\lt 1\)
これより、\(|\,r\,|\lt 1\) を満たすので、\(x\neq 0\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+x^2-1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&x^2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+x^2\,}{\,x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&1+x^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、この無限等比級数はすべての実数 \(x\) で収束し、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
0 & (x=0)
\\[3pt] 1+x^2 & (x\neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(x\neq 0\) では、\(f(x)\) は \(2\) 次関数なので連続である。
場合分けの境目 \(x=0\) で、極限値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x^2)
\\[5pt]~~~&=&1+0^2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(x=0\) のときの値は、
\(f(0)=0\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)\) が成り立たないので、\(x=0\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=0\) となる
初項は \(a=x^2\)、
各項に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\) となる
また、初項 \(a=x^2\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~\) \(x=0\) のとき、
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となるので、
\(f(0)=0\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x\neq 0\) のとき、
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(x^2\gt 0\) より \(1+x^2\gt 1\) となるので、
\(0\lt\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\lt 1\)
これより、\(|\,r\,|\lt 1\) を満たすので、\(x\neq 0\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+x^2-1\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&x^2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+x^2\,}{\,x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&1+x^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、この無限等比級数はすべての実数 \(x\) で収束し、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
0 & (x=0)
\\[3pt] 1+x^2 & (x\neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(x\neq 0\) では、\(f(x)\) は \(2\) 次関数なので連続である。
場合分けの境目 \(x=0\) で、極限値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x^2)
\\[5pt]~~~&=&1+0^2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(x=0\) のときの値は、
\(f(0)=0\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)\) が成り立たないので、\(x=0\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=0\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}\) のグラフをかき、\(f(x)\) が不連続となる \(x\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.63 問13
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\(x\) の値で場合分けをして、\(f(x)\) を求める。
\({\small [\,1\,]}~\) \(|\,x\,|\lt 1\) のとき、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n+1}=0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1^{2n+1}+1\,}{\,1^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~\) \(x=-1\) のとき、
\({\small [\,4\,]}~\) \(|\,x\,|\gt 1\) のとき、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|\lt 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{2n}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
分母と分子を \(x^{2n}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)〜\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
x & (x\lt -1)
\\[3pt] 0 & (x=-1)
\\[3pt] 1 & (-1\lt x\lt 1)
\\[3pt] 1 & (x=1)
\\[3pt] x & (x\gt 1)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(x\neq\pm 1\) では、\(f(x)\) は定数関数または \(1\) 次関数なので連続である。
場合分けの境目 \(x=1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1-0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1+0}x
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致し、\(f(1)=1\) とも等しいので、\(x=1\) で連続となる。
場合分けの境目 \(x=-1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to -1-0}x
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致しないので、\(x=-1\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=-1\) となる
\({\small [\,1\,]}~\) \(|\,x\,|\lt 1\) のとき、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n+1}=0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1^{2n+1}+1\,}{\,1^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~\) \(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,(-1)^{2n+1}+1\,}{\,(-1)^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,\{(-1)^2\}^n \cdot (-1)+1\,}{\,\{(-1)^2\}^n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,\{(-1)^2\}^n \cdot (-1)+1\,}{\,\{(-1)^2\}^n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,4\,]}~\) \(|\,x\,|\gt 1\) のとき、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\,\right|\lt 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^{2n}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
分母と分子を \(x^{2n}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^{2n}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\)〜\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\left\{~\begin{array}{ll}
x & (x\lt -1)
\\[3pt] 0 & (x=-1)
\\[3pt] 1 & (-1\lt x\lt 1)
\\[3pt] 1 & (x=1)
\\[3pt] x & (x\gt 1)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(y=f(x)\) のグラフは次の図のようになる。
\(x\neq\pm 1\) では、\(f(x)\) は定数関数または \(1\) 次関数なので連続である。
場合分けの境目 \(x=1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1-0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to 1+0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1+0}x
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致し、\(f(1)=1\) とも等しいので、\(x=1\) で連続となる。
場合分けの境目 \(x=-1\) で、左右からの極限を調べると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1-0}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to -1-0}x
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x\to -1+0}f(x)&=&1\end{eqnarray}\)
左右からの極限が一致しないので、\(x=-1\) で不連続となる。
したがって、グラフは上の図のようになり、不連続となる \(x\) の値は \(x=-1\) となる
