このページは、「範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理」の練習問題アーカイブページとなります。
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範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01方程式 \(2^x-3x=0\) は、\(3 \lt x \lt 4\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを示せ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.68 練習39
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.65 練習39
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.64 練習37
[証明] \(f(x)=2^x-3x\) とおくと、
\(2^x\) と \(3x\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([3~,~4]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(3)~,~f(4)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2^3-3 \cdot 3
\\[3pt]~~~&=&8-9
\\[3pt]~~~&=&-1\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(4)&=&2^4-3 \cdot 4
\\[3pt]~~~&=&16-12
\\[3pt]~~~&=&4\gt 0\end{eqnarray}\)
よって、\(f(3)\) と \(f(4)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(2^x-3x=0\) は \(3 \lt x \lt 4\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02方程式 \((x^2-1)\cos x+\sqrt{2}\sin x-1=0\) は、\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを示せ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.70 問題 13
[証明] \(f(x)=(x^2-1)\cos x+\sqrt{2}\sin x-1\) とおくと、
\(x^2-1~,~\cos x~,~\sin x\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \(\left[\,0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(0)~,~f\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&(0^2-1)\cos 0+\sqrt{2}\sin 0-1
\\[3pt]~~~&=&(-1) \cdot 1+\sqrt{2} \cdot 0-1
\\[3pt]~~~&=&-1-1
\\[3pt]~~~&=&-2\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&\left\{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)^2-1\right\}\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\sqrt{2}\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\pi^2\,}{\,4\,}-1\right) \cdot 0+\sqrt{2} \cdot 1-1
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}-1\gt 0\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\pi^2\,}{\,4\,}-1\right) \cdot 0+\sqrt{2} \cdot 1-1
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}-1\gt 0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(f(0)\) と \(f\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \((x^2-1)\cos x+\sqrt{2}\sin x-1=0\) は \(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03方程式 \(x^3-3x+1=0\) は負の解をもつことを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.66 問題 14
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.65 補充問題 6
[証明] \(f(x)=x^3-3x+1\) とおくと、
\(x^3~,~3x~,~1\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([-2~,~0]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(-2)~,~f(0)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3-3 \cdot (-2)+1
\\[3pt]~~~&=&-8+6+1
\\[3pt]~~~&=&-1\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&0-0+1
\\[3pt]~~~&=&1\gt 0\end{eqnarray}\)
よって、\(f(-2)\) と \(f(0)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(x^3-3x+1=0\) は \(-2 \lt x \lt 0\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつので、負の解をもつ [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04方程式 \(\log_{2}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x=1\) は、\(1 \lt x \lt 2\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.67 章末問題A 6
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.66 章末問題A 6
[証明] \(f(x)=\log_{2}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x-1\) とおくと、
\(\log_{2}x~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x~,~1\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([1~,~2]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(1)~,~f(2)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\log_{2}1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1-1
\\[5pt]~~~&=&0+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&\log_{2}2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2-1
\\[5pt]~~~&=&1+1-1
\\[3pt]~~~&=&1\gt 0\end{eqnarray}\)
よって、\(f(1)\) と \(f(2)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(\log_{2}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x=1\) は \(1 \lt x \lt 2\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05方程式 \(x-2\sin x-3=0\) は、\(0 \lt x \lt \pi\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.59 問18
[証明] \(f(x)=x-2\sin x-3\) とおくと、
\(x~,~2\sin x~,~3\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(0)~,~f(\pi)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0-2\sin 0-3
\\[3pt]~~~&=&0-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&-3\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(\pi)&=&\pi-2\sin \pi-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-3\gt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ \pi\gt 3\,)\end{eqnarray}\)
よって、\(f(0)\) と \(f(\pi)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(x-2\sin x-3=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06方程式 \(\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}=0\) は、\(10 \lt x \lt 10\sqrt{10}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.60 問題 18
[証明] \(f(x)=\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}\) とおくと、
\(\log_{10}x\) と \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([10~,~10\sqrt{10}]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(10)~,~f(10\sqrt{10})\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(10)&=&\log_{10}10-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\gt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(10\sqrt{10})&=&\log_{10}10\sqrt{10}-\displaystyle \frac{\,10\sqrt{10}\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10^{\large \frac{3}{2}}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{10}\,}{\,2\,}\lt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ 3=\sqrt{9}\lt \sqrt{10}\,)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10^{\large \frac{3}{2}}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{10}\,}{\,2\,}\lt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ 3=\sqrt{9}\lt \sqrt{10}\,)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(f(10)\) と \(f(10\sqrt{10})\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}=0\) は \(10 \lt x \lt 10\sqrt{10}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07中間値の定理を用いて、係数がすべて実数である \(3\) 次方程式は実数解を少なくとも \(1\) つもつことを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.60 問題 19
[証明] 係数がすべて実数である \(3\) 次方程式を \(ax^3+bx^2+cx+d=0~(a \neq 0)\) とし、左辺を \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) とおくと、
\(ax^3~,~bx^2~,~cx~,~d\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) はすべての実数 \(x\) で連続である
次に、\(x \to \infty\) と \(x \to -\infty\) のときの \(f(x)\) の極限を調べると、
\(x \neq 0\) のとき、
\(f(x)=x^3\left(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,}\right)\)
\(x \to \infty\) または \(x \to -\infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to 0\) であるので、
\(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to a\)
また、\(x \to \infty\) のとき \(x^3 \to \infty\)、
\(x \to -\infty\) のとき \(x^3 \to -\infty\) であるので、
\({\small (1)}~\) \(a \gt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\)
よって、\(f(p)\lt 0~,~f(q)\gt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (2)}~\) \(a \lt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty\)
よって、\(f(p)\gt 0~,~f(q)\lt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、いずれの場合も \(f(p)\) と \(f(q)\) は異符号である
また、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([p~,~q]\) で連続である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(f(x)=0\) は \(p \lt x \lt q\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつので、係数がすべて実数である \(3\) 次方程式は実数解を少なくとも \(1\) つもつ [終]
