- 数学Ⅲ｜極限「関数の連続・不連続の調べ方」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数の連続・不連続の調べ方
極限 37関数 \(f(x)=x+2~,~\)\(f(x)=x^2~,~\)\(f(x)=[\,x\,]\) の \(x=0\) での連続or不連続の調べ方は？また、関数 \(f(x)=\sqrt{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\log_{2}|\,x\,|\) の連続性の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
関数の連続・不連続の調べ方
Point：関数の連続・不連続の調べ方
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立つ
① 極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\) を求める。
※ 右側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)\) と左側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)\) が一致しないとき、極限値は存在しない。
② \(x=a\) のときの値 \(f(a)\) を求める。
③ \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立てば連続、成り立たなければ不連続となる。
無理関数・分数関数・対数関数などの連続性は、
① 関数の定義域を求める。
根号の中 \({\small ~≧~}0\)、分母 \(\neq 0\)、真数 \(\gt 0\)
② 無理関数・分数関数・対数関数などは定義域で連続であるので、定義域を区間で表す。
\(x{\small ~≧~}a\) は \([\,a~,~\infty)\)
\(x\lt a\) は \((-\infty~,~a)\)
\(a\lt x\) は \((a~,~\infty)\)
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続であるとは、
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立つ
\(x=a\) での連続・不連続は、
① 極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\) を求める。
※ 右側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)\) と左側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)\) が一致しないとき、極限値は存在しない。
② \(x=a\) のときの値 \(f(a)\) を求める。
③ \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\) が成り立てば連続、成り立たなければ不連続となる。
無理関数・分数関数・対数関数などの連続性は、
① 関数の定義域を求める。
根号の中 \({\small ~≧~}0\)、分母 \(\neq 0\)、真数 \(\gt 0\)
② 無理関数・分数関数・対数関数などは定義域で連続であるので、定義域を区間で表す。
\(x{\small ~≧~}a\) は \([\,a~,~\infty)\)
\(x\lt a\) は \((-\infty~,~a)\)
\(a\lt x\) は \((a~,~\infty)\)
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詳しい解説｜関数の連続・不連続の調べ方
極限 37関数 \(f(x)=x+2~,~\)\(f(x)=x^2~,~\)\(f(x)=[\,x\,]\) の \(x=0\) での連続or不連続の調べ方は？また、関数 \(f(x)=\sqrt{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\log_{2}|\,x\,|\) の連続性の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
関数 \(f(x)=x+2\) について、
\(x \to 0\) のときの極限値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}(x+2)
\\[5pt]~~~&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、\(x=0\) のときの値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)\) が成り立つので、
したがって、\(f(x)=x+2\) は \(x=0\) で連続である
関数 \(f(x)=x^2\) について、
\(x \to 0\) のときの極限値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x \to 0}x^2
\\[5pt]~~~&=&0^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
また、\(x=0\) のときの値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)\) が成り立つので、
したがって、\(f(x)=x^2\) は \(x=0\) で連続である
関数 \(f(x)=[\,x\,]\) について、
\([\,x\,]\) は \(x\) を超えない最大の整数を表す。
\(x=0\) の付近で場合分けすると、
\(-1{\small ~≦~}x\lt 0\) のとき、\(f(x)=-1\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 1\) のとき、\(f(x)=0\)
これより、右側極限と左側極限を求めると、
\(\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0~,~\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)=-1\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=[\,x\,]\) は \(x=0\) で不連続である
関数 \(f(x)=\sqrt{\,x-2\,}\) について、
根号の中は \(0\) 以上となるので、定義域は、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&2\end{eqnarray}\)
よって、無理関数は定義域で連続であるので、
したがって、\(f(x)=\sqrt{\,x-2\,}\) は区間 \([\,2~,~\infty)\) で連続である
関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}\) について、
分母は \(0\) とならないので、定義域は、
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&\neq&0
\\[3pt]~~~x&\neq&2\end{eqnarray}\)
よって、分数関数は定義域で連続であるので、
したがって、\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}\) は区間 \((-\infty~,~2)~,~(2~,~\infty)\) で連続である
関数 \(f(x)=\log_{2}|\,x\,|\) について、
真数は正となるので、定義域は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|&\gt&0
\\[3pt]~~~x&\neq&0\end{eqnarray}\)
よって、対数関数は定義域で連続であるので、
したがって、\(f(x)=\log_{2}|\,x\,|\) は区間 \((-\infty~,~0)~,~(0~,~\infty)\) で連続である
