- 数学Ⅲ｜極限「絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限
極限 25関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\,[\,x\,]~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\,[\,x\,]\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限
Point：絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限
このときの極限を、それぞれ右側極限、左側極限という。
右側極限：\(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)\)
左側極限：\(\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)\)
右側極限と左側極限が一致するとき、極限が存在する。
\(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha\)
\(~\Leftrightarrow ~\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)
\(x\) が \(a\) より大きい値をとりながら \(a\) に限りなく近づくことを \(x \to a+0\)、\(a\) より小さい値をとりながら \(a\) に限りなく近づくことを \(x \to a-0\) と表す。
このときの極限を、それぞれ右側極限、左側極限という。
右側極限：\(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)\)
左側極限：\(\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)\)
※ \(a=0\) のときは、\(x \to +0~,~x \to -0\) と表す。
右側極限と左側極限が一致するとき、極限が存在する。
\(\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha\)
\(~\Leftrightarrow ~\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha\)
※ 右側極限と左側極限が一致しないとき、\(x \to a\) のときの \(f(x)\) の極限はない。
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詳しい解説｜絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限
極限 25関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\,[\,x\,]~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\,[\,x\,]\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(y=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}\) のグラフは、
\(\begin{eqnarray}~~~y=\left\{~\begin{array}{l}1~~~(x \gt 0)
\\[3pt]-1~~~(x \lt 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、
\(x \to +0\) のとき、\(x \gt 0\) より \(|\, x \,|=x\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to +0}1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(x \to -0\) のとき、\(x \lt 0\) より \(|\, x \,|=-x\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,-x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to -0}(-1)
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}=1~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}=-1\) となる
\(y=[\,x\,]\) のグラフは、
\(\begin{eqnarray}~~~y=\left\{~\begin{array}{l}-1~~~(-1{\small ~≦~}x \lt 0)
\\[3pt]0~~~(0{\small ~≦~}x \lt 1)
\\[3pt]1~~~(1{\small ~≦~}x \lt 2)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、
\(1{\small ~≦~}x \lt 2\) のとき \([\,x\,]=1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\,[\,x\,]
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1+0}1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき \([\,x\,]=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\,[\,x\,]
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1-0}0
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\,[\,x\,]=1~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\,[\,x\,]=0\) となる
\(y=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) のグラフは、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x-1)+1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+1\end{eqnarray}\)
これより、
\(x \to 1+0\) のとき、分子は \(x \to 1\)、分母は \(x-1 \to +0\) となるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}=\infty\)
また、\(x \to 1-0\) のとき、分子は \(x \to 1\)、分母は \(x-1 \to -0\) となるので、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}=-\infty\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、\(x \to 1\) のときの \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の極限はない
したがって、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}=-\infty\)、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) は極限なしとなる
