- 数学Ⅲ｜極限「x²の分数関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜x²の分数関数の極限
極限 24関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\right\}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
x²の分数関数の極限
Point：x²の分数関数の極限
\(\small [\,1\,]\) \(f(x)\) の値が限りなく大きくなるとき、正の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\infty\)
\(\small [\,2\,]\) \(f(x)\) の値が負で、その絶対値が限りなく大きくなるとき、負の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=-\infty\)
例えば、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) のグラフにおいて、
\(x \to 0\) のとき、分母 \(x^2\) は正の値をとりながら \(0\) に近づくので、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) の値は限りなく大きくなる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\infty\)
関数 \(f(x)\) において、\(x\) が \(a\) と異なる値をとりながら \(a\) に限りなく近づくとき、
\(\small [\,1\,]\) \(f(x)\) の値が限りなく大きくなるとき、正の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\infty\)
\(\small [\,2\,]\) \(f(x)\) の値が負で、その絶対値が限りなく大きくなるとき、負の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=-\infty\)
例えば、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) のグラフにおいて、
\(x \to 0\) のとき、分母 \(x^2\) は正の値をとりながら \(0\) に近づくので、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) の値は限りなく大きくなる。
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\infty\)
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詳しい解説｜x²の分数関数の極限
極限 24関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\right\}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) のグラフにおいて、
\(x \to 0\) のとき、\(x^2 \gt 0\) であり、\(x^2 \to 0\)
分母 \(x^2\) が正の値をとりながら \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\) の値は限りなく大きくなる。
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\infty\) となる
\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\) のグラフにおいて、
\(x \to 1\) のとき、\(x-1 \to 0\) より、\((x-1)^2 \gt 0\) であり、\((x-1)^2 \to 0\)
分母 \((x-1)^2\) が正の値をとりながら \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\) の値は限りなく大きくなる。
よって、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\) の値は負で、その絶対値が限りなく大きくなる。
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\right\}=-\infty\) となる
