- 数学Ⅲ｜極限「関数の極限の等式と係数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数の極限の等式と係数の決定
極限 23等式 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-b\,}{\,x-1\,}=3\) が成り立つときの \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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関数の極限の等式と係数の決定
解法のPoint
関数の極限の等式と係数の決定
Point：関数の極限の等式と係数の決定等式 \(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}=\alpha\) が成り立つときの定数の値は、
① 分母の極限値が \(0\) で、極限値 \(\alpha\) をもつので、分子の極限値も \(0\) となる。
\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}=\alpha\) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to a}g(x)=0\)
ならば \(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0\)
② 求めた関係式を極限の式に代入して、\(b\) を消去して左辺の極限値を計算する。
③ 左辺の極限値と右辺の値が等しいことより、\(a\) の値を求め、\(b\) の値を求める。
① 分母の極限値が \(0\) で、極限値 \(\alpha\) をもつので、分子の極限値も \(0\) となる。
\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}=\alpha\) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to a}g(x)=0\)
ならば \(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0\)
② 求めた関係式を極限の式に代入して、\(b\) を消去して左辺の極限値を計算する。
③ 左辺の極限値と右辺の値が等しいことより、\(a\) の値を求め、\(b\) の値を求める。
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詳しい解説｜関数の極限の等式と係数の決定
極限 23等式 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-b\,}{\,x-1\,}=3\) が成り立つときの \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x-1)=0\) であり、左辺は極限値 \(3\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(a\sqrt{x}-b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{1}-b&=&0\\[3pt]~~~a-b&=&0\\[3pt]~~~b&=&a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-a\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-1)\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{x}+1\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{x})^2-1^2\}\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(x-1)\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\cancel{(x-1)}\,}{\,\cancel{(x-1)}(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{x}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(3\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}&=&3\\[5pt]~~~a&=&6\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=6\) となる
したがって、\(a=6~,~b=6\) となる
