- 数学Ⅲ｜極限「関数の極限の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数の極限の計算
極限 22極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
関数の極限の計算
Point：関数の極限の計算
① \(x=a\) のときの分母の値を調べて、分母が \(0\) にならないかを確認する。
② 多項式で表される関数や、分母が \(0\) にならない分数関数は、\(x=a\) をそのまま代入して極限値を求める。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}=\displaystyle \frac{\,f(a)\,}{\,g(a)\,}~~~(\,g(a) \neq 0\,)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形のときは、因数分解や分子の有理化をして約分し、不定形を解消してから \(x=a\) を代入する。
\(\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}=\displaystyle \frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x-1\,}=x+1\)
※ \(x \to a\) のとき \(x \neq a\) なので、\(x-a\) で約分できる。
\(x \to a\) のときの関数の極限の計算は、
① \(x=a\) のときの分母の値を調べて、分母が \(0\) にならないかを確認する。
② 多項式で表される関数や、分母が \(0\) にならない分数関数は、\(x=a\) をそのまま代入して極限値を求める。
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to a}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,}=\displaystyle \frac{\,f(a)\,}{\,g(a)\,}~~~(\,g(a) \neq 0\,)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形のときは、因数分解や分子の有理化をして約分し、不定形を解消してから \(x=a\) を代入する。
\(\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}=\displaystyle \frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x-1\,}=x+1\)
※ \(x \to a\) のとき \(x \neq a\) なので、\(x-a\) で約分できる。
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詳しい解説｜関数の極限の計算
極限 22極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)\) について、
\(x^2+x+1\) は多項式で表される関数なので、\(x=1\) をそのまま代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)
\\[3pt]~~~&=&1^2+1+1
\\[3pt]~~~&=&1+1+1
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)=3\) となる
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}\) について、
\(x=1\) のとき、分母 \(x^2+x+1\) は \(1^2+1+1=3\) となり、\(0\) にならないので、
\(x=1\) をそのまま代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1^2+1\,}{\,1^2+1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1+1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となる
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}\) について、
\(x \to 1\) のとき、分子 \(x^2-1\) と分母 \(x-1\) はともに \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、分子を因数分解して、\(x-1\) で約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}(x+1)\end{eqnarray}\)
※ \(x \to 1\) のとき \(x \neq 1\) なので、\(x-1 \neq 0\) となり約分できる。
不定形が解消されたので、\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+1
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}=2\) となる
極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}\) について、
\(x \to 1\) のとき、分子 \(\sqrt{x}-1\) と分母 \(x-1\) はともに \(0\) に収束するので、\(\displaystyle \frac{\,0\,}{\,0\,}\) の不定形となる
ここで、分子を有理化するために、分母と分子に \(\sqrt{x}+1\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{x})^2-1^2\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,(x-1)(\sqrt{x}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x}+1\,}\end{eqnarray}\)
※ \(x \to 1\) のとき \(x \neq 1\) なので、\(x-1 \neq 0\) となり約分できる。
\(x=1\) のとき、分母 \(\sqrt{x}+1\) は \(0\) にならないので、\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
