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問題｜無限級数が発散することの証明
極限 21無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) が発散することを示す方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
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無限級数が発散することの証明
解法のPoint
無限級数が発散することの証明
Point：無限級数が発散することの証明無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の収束と発散について、
\({\small [\,1\,]}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束する
\(\Rightarrow~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\)
↓ 対偶
\({\small [\,2\,]}~\)数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない
\(\Rightarrow~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) は発散する
これより、無限級数が発散することを証明するには、数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しないことを示せばよい。
\({\small [\,1\,]}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束する
\(\Rightarrow~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\)
↓ 対偶
\({\small [\,2\,]}~\)数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない
\(\Rightarrow~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) は発散する
これより、無限級数が発散することを証明するには、数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しないことを示せばよい。
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詳しい解説｜無限級数が発散することの証明
極限 21無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) が発散することを示す方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=1 \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) は発散する
[終]
