- 数学Ⅲ｜極限「無限級数の和の性質を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限級数の和の性質を用いた計算
極限 20無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)~,~\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限級数の和の性質を用いた計算
Point：無限級数の和の性質を用いた計算
① 和の性質を用いて、\(2\) つの無限級数とする。
\(k~,~l\) は定数として、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~,~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\) がともに収束するとき、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(ka_n+lb_n)=k\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n+l\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)
② それぞれの無限等比級数の和を求め、無限級数の和を求める。
初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比級数は、
\(|\, r \,|\lt 1\) のとき収束して、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(ka_n+lb_n)\) の和は、
① 和の性質を用いて、\(2\) つの無限級数とする。
\(k~,~l\) は定数として、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~,~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\) がともに収束するとき、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(ka_n+lb_n)=k\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n+l\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)
② それぞれの無限等比級数の和を求め、無限級数の和を求める。
初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比級数は、
\(|\, r \,|\lt 1\) のとき収束して、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
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詳しい解説｜無限級数の和の性質を用いた計算
極限 20無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)~,~\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(2\) つの無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}~,~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\) がともに収束するとき、和の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}\) は、初項 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\) の無限等比級数であり、
公比について、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\right|\lt 1\) であるから収束して、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\) は、初項 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の無限等比級数であり、
公比について、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|\lt 1\) であるから収束して、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
一般項を \(2\) つに分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,3^n\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,5^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n\right\}\end{eqnarray}\)
\(2\) つの無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n~,~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n\) がともに収束するとき、和の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n-\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\) は、初項 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) の無限等比級数であり、
公比について、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\right|\lt 1\) であるから収束して、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n\) は、初項 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) の無限等比級数であり、
公比について、\(\left|\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\right|\lt 1\) であるから収束して、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\right)^n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-4\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\) となる
