循環小数と無限等比級数

循環小数 \(0.333\cdots\) を、小数第 \(1\) 位から \(1\) 桁ずつ分けて無限等比級数として表すと、

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　\(0.333\cdots=0.3+0.03+0.003+\cdots\)

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右辺の各項は前の項の \(0.1\) 倍となっているので、初項 \(0.3\) 、公比 \(0.1\) の無限等比級数である

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公比について \(|\,0.1\,|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~0.333\cdots&=&\displaystyle \frac{\,0.3\,}{\,1-0.1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.3\,}{\,0.9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.3 \cdot 10\,}{\,0.9 \cdot 10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \div \,}3\,}{\,9{\, \small \div \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.333\cdots=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
 
 
循環小数 \(0.1212\cdots\) を、小数第 \(1\) 位から \(2\) 桁ずつ分けて無限等比級数として表すと、

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　\(0.1212\cdots=0.12+0.0012+0.000012+\cdots\)

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右辺の各項は前の項の \(0.01\) 倍となっているので、初項 \(0.12\) 、公比 \(0.01\) の無限等比級数である

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公比について \(|\,0.01\,|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~0.1212\cdots&=&\displaystyle \frac{\,0.12\,}{\,1-0.01\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.12\,}{\,0.99\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0.12 \cdot 100\,}{\,0.99 \cdot 100\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,99\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12{\, \small \div \,}3\,}{\,99{\, \small \div \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,33\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.1212\cdots=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,33\,}\) となる