- 数学Ⅲ｜極限「図形の性質と無限等比級数」の基本例題解説ページです。
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問題｜図形の性質と無限等比級数
極限 18\(1\) 辺の長さ \(3\) の正方形の横に \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べて、さらに \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べることを無限に続けたとき、すべての正方形の面積の和の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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図形の性質と無限等比級数
解法のPoint
図形の性質と無限等比級数
Point：図形の性質と無限等比級数正方形を限りなく並べたときの面積の和は、
① \(n=1~,~2~,~3\) のときの正方形の \(1\) 辺の長さと面積を調べる。
\(3^2~,~\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2~,~\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2~,~\cdots\)
② 隣り合う正方形の面積比より、面積の和が初項 \(9\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数となることを示す。
\(9+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}+\cdots\)
③ 無限等比級数の和を求める。
初項 \(a\) 、公比 \(r\) の無限等比級数は、\(|\,r\,|\lt 1\) のとき収束し、
\(a+ar+ar^2+\cdots=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
① \(n=1~,~2~,~3\) のときの正方形の \(1\) 辺の長さと面積を調べる。
\(3^2~,~\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2~,~\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2~,~\cdots\)
② 隣り合う正方形の面積比より、面積の和が初項 \(9\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数となることを示す。
\(9+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}+\cdots\)
③ 無限等比級数の和を求める。
初項 \(a\) 、公比 \(r\) の無限等比級数は、\(|\,r\,|\lt 1\) のとき収束し、
\(a+ar+ar^2+\cdots=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
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詳しい解説｜図形の性質と無限等比級数
極限 18\(1\) 辺の長さ \(3\) の正方形の横に \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べて、さらに \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べることを無限に続けたとき、すべての正方形の面積の和の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(n\) 番目に並べる正方形の面積を \(S_n\) として、\(n=1~,~2~,~3\) のときを順に調べると、
\(n=1\) のとき、\(1\) 辺の長さは \(3\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&3^2\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(n=2\) のとき、\(1\) 辺の長さは \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(n=3\) のとき、\(1\) 辺の長さは \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_3&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
よって、隣り合う正方形は相似で、\(1\) 辺の長さは半分になるので、相似比は \(1:2\) であるから、面積比は \(1^2:2^2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,1^2\,}{\,2^2\,}S_n\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}S_n\end{eqnarray}\)
\(S_1=9\) より、数列 \(\{S_n\}\) は初項 \(9\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比数列である
よって、すべての正方形の面積の和を \(S\) とすると、\(S\) は初項 \(9\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(S=9+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 4\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
したがって、すべての正方形の面積の和は \(12\) となる
