- 数学Ⅲ｜極限「数直線を動く点と無限等比級数」の基本例題解説ページです。
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問題｜数直線を動く点と無限等比級数
極限 17数直線上を点 \({\rm P}\) が原点から \(+1~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\)\(\cdots\) と進むとき、点 \({\rm P}\) はどんな点に近づくか？
高校数学Ⅲ｜極限
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数直線を動く点と無限等比級数
解法のPoint
数直線を動く点と無限等比級数
Point：数直線を動く点と無限等比級数数直線上を動く点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標は、
① 点 \({\rm P}\) の座標の変化を数列とする。
\(1~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~\cdots\)
② 初項と公比より、無限等比級数として近づいていく点の座標を求める。
初項 \(a\) 、公比 \(r\) の無限等比級数は、\(|\,r\,|\lt 1\) のとき収束し、
\(a+ar+ar^2+\cdots=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
① 点 \({\rm P}\) の座標の変化を数列とする。
\(1~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~\cdots\)
② 初項と公比より、無限等比級数として近づいていく点の座標を求める。
初項 \(a\) 、公比 \(r\) の無限等比級数は、\(|\,r\,|\lt 1\) のとき収束し、
\(a+ar+ar^2+\cdots=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
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詳しい解説｜数直線を動く点と無限等比級数
極限 17数直線上を点 \({\rm P}\) が原点から \(+1~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\)\(\cdots\) と進むとき、点 \({\rm P}\) はどんな点に近づくか？
高校数学Ⅲ｜極限
点 \({\rm P}\) の座標は、順に次のようになる
\(1~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\cdots\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \(x\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 2\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) の点に近づく
