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問題｜無限等比級数が収束する条件
極限 16無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) が収束するときの \(x\) の値の範囲とそのときの和の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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無限等比級数が収束する条件
解法のPoint
無限等比級数が収束する条件
Point：無限等比級数が収束する条件初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比級数 \(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\) が収束する条件は、
\(a=0\) または \(|\,r\,|\lt 1\)
収束するときの和は、
\({\small [\,1\,]}~a=0\) のとき、和は \(0\)
\({\small [\,2\,]}~a\neq 0\) かつ \(|\,r\,|\lt 1\) のとき、和は \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
※ 初項に文字を含むときは、\(a=0\) と \(a\neq 0\) で場合分けする。
\(a=0\) または \(|\,r\,|\lt 1\)
収束するときの和は、
\({\small [\,1\,]}~a=0\) のとき、和は \(0\)
\({\small [\,2\,]}~a\neq 0\) かつ \(|\,r\,|\lt 1\) のとき、和は \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\)
※ 初項に文字を含むときは、\(a=0\) と \(a\neq 0\) で場合分けする。
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詳しい解説｜無限等比級数が収束する条件
極限 16無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) が収束するときの \(x\) の値の範囲とそのときの和の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(0\lt x\lt 2\) のとき \(1\) となる
