このページは、「無限等比級数が収束する条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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無限等比級数が収束する条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の無限等比級数は、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\) のとき収束することを示せ。また、そのときの和を求めよ。
\(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\)
\(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.41 問4
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無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(0\lt x\lt 2\) のとき \(1\) となる
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(0\lt x\lt 2\) のとき \(1\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の無限等比級数が収束するような実数 \(x\) の値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。
\(x+x(1-x)^2+x(1-x)^4+\cdots\)
\(x+x(1-x)^2+x(1-x)^4+\cdots\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.41 練習15
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.43 問題 4
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無限等比級数 \(x+x(1-x)^2+x(1-x)^4+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \((1-x)^2\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=(1-x)^2\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,(1-x)^2\,|\lt 1\)
\((1-x)^2{\small ~≧~}0\) より、絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-x)^2 &\lt& 1
\\[3pt]~~~1-2x+x^2 &\lt& 1
\\[3pt]~~~x^2-2x &\lt& 0
\\[3pt]~~~x(x-2) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
この \(2\) 次不等式を解くと、
\(0\lt x\lt 2\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-2x+x^2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2x-x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(0\lt x\lt 2\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-x\,}\) となる
各項に \((1-x)^2\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=(1-x)^2\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,(1-x)^2\,|\lt 1\)
\((1-x)^2{\small ~≧~}0\) より、絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-x)^2 &\lt& 1
\\[3pt]~~~1-2x+x^2 &\lt& 1
\\[3pt]~~~x^2-2x &\lt& 0
\\[3pt]~~~x(x-2) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
この \(2\) 次不等式を解くと、
\(0\lt x\lt 2\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-x)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(1-2x+x^2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2x-x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(0\lt x\lt 2\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-x\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03無限等比数列 \(\{r^{n-1}\}\) が収束する条件と、無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\) が収束する条件を、それぞれ \(r\) の値で場合分けして求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.48 問題 7
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無限等比数列 \(\{r^{n-1}\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(r\) の数列で、\(r\) の値によって次のように場合分けできるので、
\({\small [\,1\,]}~r\gt 1\) のとき
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}=\infty\)
正の無限大に発散する
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}1^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(1\) に収束する
\({\small [\,3\,]}~-1\lt r\lt 1\) のとき
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}=0\)
\(0\) に収束する
\({\small [\,4\,]}~r{\small ~≦~}-1\) のとき
数列 \(\{r^{n-1}\}\) は振動する（発散する）
したがって、無限等比数列 \(\{r^{n-1}\}\) が収束する条件は \(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\) となる
次に、無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=1+r+r^2+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、
公比は \(r\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、\(|\,r\,|\lt 1\) と \(|\,r\,|{\small ~≧~}1\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,|\lt 1\) すなわち \(-1\lt r\lt 1\) のとき
この無限等比級数は収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-r\,}\)
\({\small [\,2\,]}~|\,r\,|{\small ~≧~}1\) すなわち \(r{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}r\) のとき
この無限等比級数は発散する
したがって、無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\) が収束する条件は \(-1 \lt r \lt 1\) となる
\({\small [\,1\,]}~r\gt 1\) のとき
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}=\infty\)
正の無限大に発散する
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}1^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(1\) に収束する
\({\small [\,3\,]}~-1\lt r\lt 1\) のとき
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n-1}=0\)
\(0\) に収束する
\({\small [\,4\,]}~r{\small ~≦~}-1\) のとき
数列 \(\{r^{n-1}\}\) は振動する（発散する）
したがって、無限等比数列 \(\{r^{n-1}\}\) が収束する条件は \(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\) となる
次に、無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}=1+r+r^2+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、
公比は \(r\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、\(|\,r\,|\lt 1\) と \(|\,r\,|{\small ~≧~}1\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,|\lt 1\) すなわち \(-1\lt r\lt 1\) のとき
この無限等比級数は収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-r\,}\)
\({\small [\,2\,]}~|\,r\,|{\small ~≧~}1\) すなわち \(r{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}r\) のとき
この無限等比級数は発散する
したがって、無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\) が収束する条件は \(-1 \lt r \lt 1\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の無限等比級数が収束するような \(x\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (1)}~1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (2)}~x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (1)}~1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (2)}~x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.38 練習14
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\({\small (1)}~\)無限等比級数 \(1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(1\lt x\lt 3\)
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束する
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(1\lt x\lt 3\) のとき収束する
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(x=0~,~1\lt x\lt 3\)
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(1\lt x\lt 3\)
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束する
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(1\lt x\lt 3\) のとき収束する
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(x=0~,~1\lt x\lt 3\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の無限等比級数が収束するような \(x\) の値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。
\({\small (1)}~1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (2)}~x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (1)}~1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\)
\({\small (2)}~x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\)
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.40 練習14
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\({\small (1)}~\)無限等比級数 \(1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
\(1\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-2+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(1\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) となる
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(1\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-2+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(x=0~,~1\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(1\lt x\lt 3\) のとき \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) となる
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
\(1\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-2+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(1\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) となる
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=x\) 、
各項に \(2-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=2-x\) となる
また、初項 \(a=x\) に文字を含むので、\(x=0\) と \(x\neq 0\) で場合分けする
\({\small [\,1\,]}~x=0\) のとき
初項が \(a=0\) となるので、この無限等比級数は収束し、その和は \(0\) となる
\({\small [\,2\,]}~x\neq 0\) のとき
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,2-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 2-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-2 &\lt& -x \lt 1-2
\\[3pt]~~~-3 &\lt& -x \lt -1
\\[3pt]~~~3 &\gt& x \gt 1
\\[3pt]~~~1 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
これは \(x\neq 0\) を満たすので、\(1\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-(2-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1-2+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(x=0~,~1\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は、\(x=0\) のとき \(0\)、
\(1\lt x\lt 3\) のとき \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の無限等比級数が収束するような実数 \(x\) の値の範囲を求めよ。また、収束するときの和を求めよ。
\({\small (1)}~1+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,27\,}+\cdots\)
\({\small (2)}~4+4(1-x)+4(1-x)^2+\cdots\)
\({\small (1)}~1+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,27\,}+\cdots\)
\({\small (2)}~4+4(1-x)+4(1-x)^2+\cdots\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.35 問11
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\({\small (1)}~\)無限等比級数 \(1+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,27\,}+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、
各項に \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\,\right|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& \displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,} \lt 1
\\[5pt]~~~-1 \cdot 3 &\lt& x \lt 1 \cdot 3
\\[5pt]~~~-3 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
\(-3\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}3\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right){\, \small \times \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3-x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(-3\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3-x\,}\) となる
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(4+4(1-x)+4(1-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=4\) 、
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0\lt x\lt 2\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\) となる
各項に \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\,\right|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& \displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,} \lt 1
\\[5pt]~~~-1 \cdot 3 &\lt& x \lt 1 \cdot 3
\\[5pt]~~~-3 &\lt& x \lt 3\end{eqnarray}\)
\(-3\lt x\lt 3\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}3\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right){\, \small \times \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3-x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(-3\lt x\lt 3\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3-x\,}\) となる
\({\small (2)}~\)無限等比級数 \(4+4(1-x)+4(1-x)^2+\cdots\) の初項は \(a=4\) 、
各項に \(1-x\) を掛けると次の項になるので、公比は \(r=1-x\) となる
初項が \(a\neq 0\) となるので、収束する条件は \(|\,r\,|\lt 1\) となり、
\(|\,1-x\,|\lt 1\)
絶対値をはずすと、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& 1-x \lt 1
\\[3pt]~~~-1-1 &\lt& -x \lt 1-1
\\[3pt]~~~-2 &\lt& -x \lt 0
\\[3pt]~~~2 &\gt& x \gt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& x \lt 2\end{eqnarray}\)
\(0\lt x\lt 2\) のとき収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1-(1-x)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1-1+x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、収束する \(x\) の値の範囲は、
\(0\lt x\lt 2\)
また、収束するときの和は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\) となる
