無限等比級数の収束・発散

無限等比級数 \(1+\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+\cdots\) の初項は \(a=1\) 、

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公比 \(r\) は、第 \(2\) 項を初項で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,1\,}=\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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\(a\neq 0\) で、\(\sqrt{2}\gt 1\) より \(|\,r\,|{\small ~≧~}1\) となる

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したがって、この無限等比級数は発散する

 
 

無限等比級数 \(8+4\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}+\cdots\) の初項は \(a=8\) 、

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公比 \(r\) は、第 \(2\) 項を初項で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(a\neq 0\) で、\(\sqrt{2}\lt 2\) より \(0\lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\lt 1\) となり、\(|\,r\,|\lt 1\) となるので、

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この無限等比級数は収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8{\, \small \times \,}2\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,2-\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16(2+\sqrt{2})\,}{\,(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16(2+\sqrt{2})\,}{\,4-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16(2+\sqrt{2})\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&8(2+\sqrt{2})
\\[3pt]~~~&=&16+8\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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したがって、この無限等比級数は収束し、その和は \(16+8\sqrt{2}\) となる