このページは、「無限等比級数の収束・発散」の練習問題アーカイブページとなります。
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無限等比級数の収束・発散 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01初項 \(1\)、公比 \(0.5\) の無限等比級数において、和 \(S\) と、初項から第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) の差が、初めて \(0.001\) より小さくなるような \(n\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.48 問題 4
この無限等比級数の初項は \(a=1\) 、
公比は \(r=0.5=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(a\neq 0\) で、\(0\lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\lt 1\) より \(|\,r\,|\lt 1\) となるので、
この無限等比級数は収束し、その和 \(S=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}2\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、初項から第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n=\displaystyle \frac{\,a(1-r^n)\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot \left\{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,\right\}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left\{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,\right\}{\, \small \times \,}2\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\left\{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,\right\}\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^n\,}
\\[5pt]~~~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
よって、和 \(S\) と部分和 \(S_n\) の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~S-S_n&=&2-\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2-2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
この差が \(0.001\) より小さくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}&\lt&0.001
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1000\,}
\\[5pt]~~~2^{n-1}&\gt&1000\end{eqnarray}\)
ここで、\(2^9=512~,~2^{10}=1024\) より、\(2^{n-1}\gt 1000\) を満たす最小の \(n-1\) は \(10\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n-1&=&10
\\[3pt]~~~n&=&11\end{eqnarray}\)
したがって、\(n=11\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02和が \(1\) の無限等比級数がある。この各項を \(2\) 乗して得られる無限等比級数の和は \(2\) である。もとの無限等比級数の初項と公比を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 8
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.67 章末問題B 8
もとの無限等比級数の初項を \(a\)、公比を \(r\) とおくと、
和が \(1\) で収束するので、\(a\neq 0\) かつ \(|\,r\,|\lt 1\) となり、その和 \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、各項を \(2\) 乗して得られる無限等比級数 \(a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots\) の初項は \(a^2\) 、
公比は \(r^2\)
\(a^2\neq 0\) で、\(|\,r\,|\lt 1\) より \(0{\small ~≦~}r^2\lt 1\) となり、\(|\,r^2\,|\lt 1\) となるので、
この無限等比級数は収束し、その和 \(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,1-r^2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,1-r^2\,}&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,2\,]}\) の左辺を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,1-r^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,a \cdot a\,}{\,(1-r)(1+r)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,} \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,1+r\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,1-r\,}=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,1+r\,}&=&2
\\[5pt]~~~a&=&2(1+r)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) の両辺に \(1-r\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&1-r~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(1+r)&=&1-r
\\[3pt]~~~2+2r&=&1-r
\\[3pt]~~~2r+r&=&1-2
\\[3pt]~~~3r&=&-1
\\[5pt]~~~r&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これは \(|\,r\,|\lt 1\) を満たす
\(r=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これは \(a\neq 0\) を満たす
したがって、もとの無限等比級数の初項は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)、公比は \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
