- 数学Ⅲ｜極限「無限級数の収束とその和」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限級数の収束とその和
極限 14第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}\) の無限級数が収束するときの和の求め方は？また、第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\) の無限級数の収束or発散の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限級数の収束とその和
Point：無限級数の収束とその和無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の収束・発散は、
① 数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) を求める。
\(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
② 部分和 \(S_n\) の極限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\) を求める。
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S\) のとき、無限級数は収束し、和は \(S\) となる。
数列 \(\{S_n\}\) が発散するとき、無限級数は発散する。
① 数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) を求める。
\(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
② 部分和 \(S_n\) の極限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\) を求める。
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S\) のとき、無限級数は収束し、和は \(S\) となる。
数列 \(\{S_n\}\) が発散するとき、無限級数は発散する。
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詳しい解説｜無限級数の収束とその和
極限 14第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}\) の無限級数が収束するときの和の求め方は？また、第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\) の無限級数の収束or発散の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項 \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}\) の無限級数の部分和 \(S_n\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\) を部分分数に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k+1\,}&=&\displaystyle \frac{\,(k+1)-k\,}{\,k(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\end{eqnarray}\)
恒等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k+1\,}\) が成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k+1\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~S_n&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)
\\[5pt]~~~&+&\left(\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}-\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)
\\[5pt]~~~&+&\left(\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}-\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~&+&\left(\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n-1\,}}-\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}}\right)
\\[5pt]~~~&+&\left(\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(1\) と \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}\end{eqnarray}\)
次に、部分和 \(S_n\) の極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1-0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、この無限級数は収束し、その和は \(1\) となる
第 \(n\) 項 \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\) の無限級数の部分和 \(S_n\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k+1\,}+\sqrt{\,k\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k+1\,}+\sqrt{\,k\,}\,}\) の分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k+1\,}+\sqrt{\,k\,}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}{\,(\sqrt{\,k+1\,})^2-(\sqrt{\,k\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}{\,(k+1)-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}{\,(\sqrt{\,k+1\,})^2-(\sqrt{\,k\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\,}{\,(k+1)-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~S_n&=&(\cancel{\sqrt{\,2\,}}-\sqrt{\,1\,})
\\[3pt]~~~&+&(\cancel{\sqrt{\,3\,}}-\cancel{\sqrt{\,2\,}})
\\[3pt]~~~&+&(\cancel{\sqrt{\,4\,}}-\cancel{\sqrt{\,3\,}})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~&+&(\cancel{\sqrt{\,n\,}}-\cancel{\sqrt{\,n-1\,}})
\\[3pt]~~~&+&(\sqrt{\,n+1\,}-\cancel{\sqrt{\,n\,}})\end{eqnarray}\)
\(-\sqrt{\,1\,}\) と \(\sqrt{\,n+1\,}\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&-\sqrt{\,1\,}+\sqrt{\,n+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-1\end{eqnarray}\)
次に、部分和 \(S_n\) の極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{\,n+1\,}-1\right)
\\[3pt]~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
数列 \(\{S_n\}\) は正の無限大に発散するので、
したがって、この無限級数は発散する
