このページは、「無限級数の収束とその和」の練習問題アーカイブページとなります。
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無限級数の収束とその和 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a_n=\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}~(n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の収束、発散を調べよ。
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の収束、発散を調べよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.63 練習問題B 10
\({\small (1)}~\)第 \(n\) 項 \(a_n=\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\) の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、真数の分子 \(n+1\) と分母 \(n\) はともに \(\infty\) に発散するので、真数は \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\log_{10}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\log_{10}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\log_{10}\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{10}(1+0)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0\) となる
\({\small (2)}~\)第 \(n\) 項 \(a_n=\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\) の無限級数の部分和 \(S_n\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log_{10}\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\end{eqnarray}\)
ここで、対数の性質より、\(\log_{10}\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\) を差の形に変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}&=&\log_{10}(k+1)-\log_{10}k\end{eqnarray}\)
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\,\log_{10}(k+1)-\log_{10}k\,\right\}\end{eqnarray}\)
\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~S_n&=&(\cancel{\log_{10}2}-\log_{10}1)
\\[3pt]~~~&+&(\cancel{\log_{10}3}-\cancel{\log_{10}2})
\\[3pt]~~~&+&(\cancel{\log_{10}4}-\cancel{\log_{10}3})
\\[3pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~&+&\left\{\,\cancel{\log_{10}n}-\cancel{\log_{10}(n-1)}\,\right\}
\\[3pt]~~~&+&\left\{\,\log_{10}(n+1)-\cancel{\log_{10}n}\,\right\}\end{eqnarray}\)
\(-\log_{10}1\) と \(\log_{10}(n+1)\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&-\log_{10}1+\log_{10}(n+1)
\\[3pt]~~~&=&-0+\log_{10}(n+1)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}(n+1)\end{eqnarray}\)
次に、部分和 \(S_n\) の極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log_{10}(n+1)
\\[3pt]~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
数列 \(\{S_n\}\) は正の無限大に発散するので、
したがって、この無限級数は発散する
【別解】
部分和 \(S_n\) の項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log_{10}\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\cdots+\log_{10}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n-1\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\cdots+\log_{10}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n-1\,}+\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
対数の性質 \(\log_{10}M+\log_{10}N=\log_{10}MN\) より、真数を \(1\) つにまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{S_n}&=&\log_{10}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{\,n\,}{\,n-1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
真数の分母と分子を約分すると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~\phantom{S_n}&=&\log_{10}\left(\displaystyle \frac{\,\cancel{2}\,}{\,1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{3}\,}{\,\cancel{2}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{4}\,}{\,\cancel{3}\,} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{n}\,}{\,\cancel{n-1}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,\cancel{n}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}(n+1)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}(n+1)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、部分和 \(S_n\) の極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log_{10}(n+1)
\\[3pt]~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
数列 \(\{S_n\}\) は正の無限大に発散するので、
したがって、この無限級数は発散する
