- 数学Ⅲ｜極限「数学的帰納法と数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜数学的帰納法と数列の極限
極限 13☆\(a_1=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,a_n+1\,}\) で定義される数列の一般項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}\) であることを数学的帰納法で証明し、数列 \(\{a_n\}\) の極限を求める方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
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数学的帰納法と数列の極限
解法のPoint
数学的帰納法と数列の極限
Point：数学的帰納法と数列の極限漸化式で定義される数列の一般項を数学的帰納法で証明して、極限を求める手順は、
① \(n=1\) のとき、一般項の式が成り立つことを示す。
② \(n=k\) のとき成り立つと仮定して、漸化式より \(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
③ 一般項が \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割って極限を求める。
\(\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,}\)
① \(n=1\) のとき、一般項の式が成り立つことを示す。
② \(n=k\) のとき成り立つと仮定して、漸化式より \(n=k+1\) のときも成り立つことを示す。
③ 一般項が \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割って極限を求める。
\(\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,}\)
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詳しい解説｜数学的帰納法と数列の極限
極限 13☆\(a_1=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,a_n+1\,}\) で定義される数列の一般項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}\) であることを数学的帰納法で証明し、数列 \(\{a_n\}\) の極限を求める方法は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,2^1\,}{\,2^1+1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \({\small [\,1\,]}\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,2a_k\,}{\,a_k+1\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_{k+1}}&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}{\, \small \times \,}(2^k+1)\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}+1\right){\, \small \times \,}(2^k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 2^k\,}{\,2^k+(2^k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{k+1}\,}{\,2 \cdot 2^k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{k+1}\,}{\,2^{k+1}+1\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}{\, \small \times \,}(2^k+1)\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2^k\,}{\,2^k+1\,}+1\right){\, \small \times \,}(2^k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 2^k\,}{\,2^k+(2^k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{k+1}\,}{\,2 \cdot 2^k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{k+1}\,}{\,2^{k+1}+1\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
一般項 \(a_n=\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}\) である数列の極限について、
\(2\gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(2^n\) と分母 \(2^n+1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \(2^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=1\) となる
