- 数学Ⅲ｜極限「漸化式と数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜漸化式と数列の極限
極限 12漸化式 \(a_1=4~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で定められる数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
漸化式と数列の極限
Point：漸化式と数列の極限
① 特性方程式を用いて、漸化式から一般項 \(a_n\) を求める。
\(a_{n+1}=c~,~a_n=c\) とした特性方程式 \(c=pc+q\) を解く。（解答に書かない）
定数 \(c\) を用いて、漸化式を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-c&=&p(a_n-c)\end{eqnarray}\)
\(b_n=a_n-c\) とおき、等比数列 \(\{b_n\}\) の一般項から \(a_n\) を求める。
\(b_n=b_1\cdot p^{n-1}\) より、\(a_n=b_1\cdot p^{n-1}+c\)
② 無限等比数列の極限を用いて、数列 \(\{a_n\}\) の極限を求める。
漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+q\) で定められる数列の極限は、
① 特性方程式を用いて、漸化式から一般項 \(a_n\) を求める。
\(a_{n+1}=c~,~a_n=c\) とした特性方程式 \(c=pc+q\) を解く。（解答に書かない）
定数 \(c\) を用いて、漸化式を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-c&=&p(a_n-c)\end{eqnarray}\)
\(b_n=a_n-c\) とおき、等比数列 \(\{b_n\}\) の一般項から \(a_n\) を求める。
\(b_n=b_1\cdot p^{n-1}\) より、\(a_n=b_1\cdot p^{n-1}+c\)
② 無限等比数列の極限を用いて、数列 \(\{a_n\}\) の極限を求める。
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詳しい解説｜漸化式と数列の極限
極限 12漸化式 \(a_1=4~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で定められる数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(a_{n+1}=c~,~a_n=c\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(a_n-1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=a_n-1\) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\)
\(b_1=a_1-1=4-1=3\)
これより、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=3\)
数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&3\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\end{eqnarray}\)
よって、\(b_n=a_n-1\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n-1&=&3\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&3\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+1\end{eqnarray}\)
ここで、\(n \to \infty\) のとき、\(\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{3\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=1\) となる
