- 数学Ⅲ｜極限「rⁿを含む数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜rⁿを含む数列の極限
極限 11\(r \neq -1\) のとき、第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
rⁿを含む数列の極限
Point：rⁿを含む数列の極限数列 \(\{r^n\}\) の極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\(r {\small ~≦~} -1\) のとき 振動する（極限はない）
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}\) の数列の極限の求め方は、
① \(r\) の値で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき \(r^n=1\)
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき \(r^n \to 0\)
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき 分母・分子が振動する
② \({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) は分母・分子を \(r^n\) で割り、それぞれの場合で極限を求める。
\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\(r {\small ~≦~} -1\) のとき 振動する（極限はない）
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}\) の数列の極限の求め方は、
① \(r\) の値で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき \(r^n=1\)
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき \(r^n \to 0\)
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき 分母・分子が振動する
② \({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) は分母・分子を \(r^n\) で割り、それぞれの場合で極限を求める。
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詳しい解説｜rⁿを含む数列の極限
極限 11\(r \neq -1\) のとき、第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~|\,r\,| \lt 1~,~r \lt -1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分母 \(1+r^n\) は \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small [\,1\,]}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(1\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(0\)
\(r \lt -1\) のとき \(1\)
