- 数学Ⅲ｜極限「無限等比数列が収束する条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限等比数列が収束する条件
極限 10第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\right)^n\) の数列が収束するときの \(x\) の値の範囲と極限値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限等比数列が収束する条件
Point：無限等比数列が収束する条件
\(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\)
\(-1 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
第 \(n\) 項が \(r^n\) の数列が収束するときの \(x\) の値の範囲と極限値の求め方は、
① 収束条件 \(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\) から \(x\) の値の範囲を求める。
② \(-1 \lt r \lt 1\) のときと \(r=1\) のときに分けて極限値を求める。
数列 \(\{r^n\}\) が収束するための必要十分条件は、
\(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\)
このときの極限値は、
\(-1 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
第 \(n\) 項が \(r^n\) の数列が収束するときの \(x\) の値の範囲と極限値の求め方は、
① 収束条件 \(-1 \lt r {\small ~≦~} 1\) から \(x\) の値の範囲を求める。
② \(-1 \lt r \lt 1\) のときと \(r=1\) のときに分けて極限値を求める。
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詳しい解説｜無限等比数列が収束する条件
極限 10第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\right)^n\) の数列が収束するときの \(x\) の値の範囲と極限値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\right)^n\) の数列は、公比 \(r=\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\) として数列 \(\{r^n\}\) と表せるので、
収束するための必要十分条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&\lt&\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,} {\small ~≦~} 1
\\[5pt]~~~-1 \cdot 3&\lt&x+1 {\small ~≦~} 1 \cdot 3
\\[5pt]~~~-3&\lt&x+1 {\small ~≦~} 3
\\[5pt]~~~-3-1&\lt&x {\small ~≦~} 3-1
\\[5pt]~~~-4&\lt&x {\small ~≦~} 2\end{eqnarray}\)
したがって、求める \(x\) の値の範囲は \(-4 \lt x {\small ~≦~} 2\) となる
次に、\(r=1\) となる \(x\) の値を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~x+1&=&3
\\[5pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(-4 \lt x \lt 2\) のとき \(-1 \lt r \lt 1\) 、\(x=2\) のとき \(r=1\) となる。
\(-4 \lt x \lt 2\) のとき、\(-1 \lt \displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,} \lt 1\) となるので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\right)^n=0\)
\(x=2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}=1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,2+1\,}{\,3\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}1^n
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、極限値は \(-4 \lt x \lt 2\) のとき \(0\) 、\(x=2\) のとき \(1\) となる
