- 数学Ⅲ｜極限「無限等比数列の極限と不定形」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限等比数列の極限と不定形
極限 09第 \(n\) 項が \(3^n-2^n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限等比数列の極限と不定形
Point：無限等比数列の極限と不定形
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、底が最も大きい項でくくる。
\(3^n-2^n=3^n\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\right\}\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}=\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}\)
④ 無限等比数列の極限 \(|\, r \,|\lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0~,~\)\(r\gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\) を用いて、極限を求める。
\(r^n\) を含む数列で、\(n \to \infty\) のとき、そのままでは極限が決まらない次の形を不定形という。
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、底が最も大きい項でくくる。
\(3^n-2^n=3^n\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\right\}\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の底が最も大きい項で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}=\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}\)
④ 無限等比数列の極限 \(|\, r \,|\lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0~,~\)\(r\gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\) を用いて、極限を求める。
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詳しい解説｜無限等比数列の極限と不定形
極限 09第 \(n\) 項が \(3^n-2^n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(3^n-2^n\) である数列の極限について、
\(3\gt 1~,~2\gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、\(3^n\) と \(2^n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、底が最も大きい \(3^n\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}(3^n-2^n)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{3^n\cdot 1-3^n\cdot \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}3^n\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\right\}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(3^n\) は \(\infty\) に発散し、
\(\left|\, \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n \to 0\) となり、
\(1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\) は \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(3^n-2^n)=\infty\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}\) である数列の極限について、
\(5\gt 1~,~3\gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子の \(5^n\) と \(3^n\) はともに \(\infty\) に発散するので、分子が \(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分子を底が最も大きい \(5^n\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,5^n\cdot 1-5^n\cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\,}{\,2^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,5^n\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\right\}\,}{\,2^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,5^n\,}{\,2^n\,}\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^n\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\right\}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\gt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^n\) は \(\infty\) に発散し、
\(\left|\, \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n \to 0\) となり、
\(1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^n\) は \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}=\infty\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(3^n-2^n\) は \(\infty-\infty\) の不定形、分母 \(3^n+2^n\) は \(\infty\) に発散するので、分数全体として不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \(3^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3^n\,}{\,3^n\,}-\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,3^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3^n\,}{\,3^n\,}+\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,3^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\left|\, \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}=1\) となる
