- 数学Ⅲ｜極限「無限等比数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限等比数列の極限
極限 08第 \(n\) 項が \(3^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\((-3)^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^n\) の無限等比数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限等比数列の極限
Point：無限等比数列の極限
第 \(n\) 項が \(r^n\) の無限等比数列 \(\{r^n\}\) の極限は、公比 \(r\) の値によって次のようになる。
\({\small [\,1\,]}~r\gt 1\) のとき
項は限りなく大きくなり、正の無限大に発散するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\)
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての項が \(1\) となり、\(1\) に収束するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
\({\small [\,3\,]}~|\, r \,|\lt 1\) のとき
項の絶対値は限りなく小さくなり、\(0\) に収束するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\({\small [\,4\,]}~r{\small ~≦~}-1\) のとき
項の符号が交互に変わり、一定の値に近づかないので、
振動する（極限はない）
※ \({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) を合わせて、\(-1\lt r{\small ~≦~}1\) のとき収束する。
初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比数列について、
第 \(n\) 項が \(r^n\) の無限等比数列 \(\{r^n\}\) の極限は、公比 \(r\) の値によって次のようになる。
\({\small [\,1\,]}~r\gt 1\) のとき
項は限りなく大きくなり、正の無限大に発散するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=\infty\)
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての項が \(1\) となり、\(1\) に収束するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=1\)
\({\small [\,3\,]}~|\, r \,|\lt 1\) のとき
項の絶対値は限りなく小さくなり、\(0\) に収束するので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^n=0\)
\({\small [\,4\,]}~r{\small ~≦~}-1\) のとき
項の符号が交互に変わり、一定の値に近づかないので、
振動する（極限はない）
※ \({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) を合わせて、\(-1\lt r{\small ~≦~}1\) のとき収束する。
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詳しい解説｜無限等比数列の極限
極限 08第 \(n\) 項が \(3^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\((-3)^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^n\) の無限等比数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(3^n\) の無限等比数列は、
\(3~,~9~,~27~,~81~,~\cdots\)
初項 \(a=3\)、公比 \(r=3\) の無限等比数列となる。
公比が \(r=3\gt 1\) より、項は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}3^n=\infty\)
したがって、正の無限大に発散する
第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n\) の無限等比数列は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}~,~\cdots\)
初項 \(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、公比 \(r=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の無限等比数列となる。
公比が \(|\, r \,|=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\lt 1\) より、項は限りなく \(0\) に近づくので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n=0\)
したがって、\(0\) に収束する
第 \(n\) 項が \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n\) の無限等比数列は、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}~,~\cdots\)
初項 \(a=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、公比 \(r=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の無限等比数列となる。
公比の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, r \,|&=&\left|\, -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(|\, r \,|\lt 1\) より、項の符号は交互に変わるが、絶対値は限りなく小さくなり、\(0\) に近づくので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n=0\)
したがって、\(0\) に収束する
第 \(n\) 項が \((-3)^n\) の無限等比数列は、
\(-3~,~9~,~-27~,~81~,~\cdots\)
初項 \(a=-3\)、公比 \(r=-3\) の無限等比数列となる。
公比が \(r=-3{\small ~≦~}-1\) より、項の符号は交互に変わり、絶対値は限りなく大きくなるので、一定の値に近づかない。
したがって、振動する（極限はない）
第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^n\) の無限等比数列は、
\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,8\,}~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}~,~\cdots\)
初項 \(a=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)、公比 \(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) の無限等比数列となる。
ここで、\(1\lt 3\lt 4\) より、各辺の正の平方根をとって \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,1\,} &\lt& \sqrt{\,3\,} \lt \sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~1 &\lt& \sqrt{\,3\,} \lt 2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \lt 1\end{eqnarray}\)
よって、\(|\, r \,|\lt 1\) より、項は限りなく \(0\) に近づくので、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^n=0\)
したがって、\(0\) に収束する
