- 数学Ⅲ｜極限「二項定理と数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜二項定理と数列の極限
極限 07☆\(n\) を自然数とするとき、不等式 \(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) が成り立つことの証明方法は？また、極限 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
二項定理と数列の極限
Point：二項定理と数列の極限
① 不等式 \(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) を式変形する。
\(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,} \gt \displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) を不等式ではさむ。
\(0 \lt \displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}\)
③ はさみうちの原理より、極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}=0\) より、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}=0\)
二項定理を用いて証明した不等式から、極限 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) を求めるときは、
① 不等式 \(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) を式変形する。
\(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,} \gt \displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) を不等式ではさむ。
\(0 \lt \displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}\)
③ はさみうちの原理より、極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}=0\) より、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}=0\)
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詳しい解説｜二項定理と数列の極限
極限 07☆\(n\) を自然数とするとき、不等式 \(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) が成り立つことの証明方法は？また、極限 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
[証明] \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(左辺)&=&2^1
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(右辺)&=&1+1+\displaystyle \frac{\,1 \cdot (1-1)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) のとき、不等式は成り立つ。
\(n=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(左辺)&=&2^2
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(右辺)&=&1+2+\displaystyle \frac{\,2 \cdot (2-1)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\(n=2\) のとき、不等式は成り立つ。
\(n {\small ~≧~} 3\) のとき、\(2^n=(1+1)^n\) の展開式は二項定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^n
\\[3pt]~~~&=&(1+1)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+{}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n
\\[5pt]~~~&=&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\right)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(1+1)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+{}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n
\\[5pt]~~~&=&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(n\) が \(3\) 以上の自然数より、
\({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \gt 0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2^n&=&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_3+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n\right)
\\[5pt]~~~&\gt&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&\gt&1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、自然数 \(n\) について、
\(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) [終]
証明した不等式と \(1+n \gt 0\) より、
\(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,} \gt \displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\)
よって、
\(2^n \gt \displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\)
ここで、\(n {\small ~≧~} 2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,} \gt 0\) より、両辺の逆数をとると、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^n\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,n(n-1)\,}\)
両辺に \(n \gt 0\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,2 \cdot \cancel{n}\,}{\,\cancel{n}(n-1)\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}&\lt&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}\end{eqnarray}\)
また、\(n \gt 0~,~2^n \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,} \gt 0\)
よって、\(n {\small ~≧~} 2\) のとき、
\(0 \lt \displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}\)
ここで、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n-1\,}=0\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}=0\)
