- 数学Ⅲ｜極限「数列の和を含む数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜数列の和を含む数列の極限
極限 06☆極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,1+2+3+\cdots+n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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数列の和を含む数列の極限
解法のPoint
数列の和を含む数列の極限
Point：数列の和を含む数列の極限数列の和を含む数列の極限は、
① 和の公式を用いて、数列の和の部分を \(n\) の式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
② 分母の最高次の項で分母・分子を割り、極限値を求める。
① 和の公式を用いて、数列の和の部分を \(n\) の式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
② 分母の最高次の項で分母・分子を割り、極限値を求める。
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詳しい解説｜数列の和を含む数列の極限
極限 06☆極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,1+2+3+\cdots+n\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
分母の数列の和について、和の公式を用いて \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
よって、求める極限は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,1+2+3+\cdots+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n^2\,}{\,n(n+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n+1\,}\end{eqnarray}\)
分母の最高次の項 \(n\) で分母・分子を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,1+2+3+\cdots+n\,}=2\) となる
