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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01数列 \(1~,~-1~,~1~,~-1~,~1~,~\cdots\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\)、また \(T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}(S_1+S_2+\cdots+S_n)\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(S_n\) および \(T_n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)数列 \(\{T_n\}\) の極限を調べよ。
\({\small (1)}~\)\(S_n\) および \(T_n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)数列 \(\{T_n\}\) の極限を調べよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.63 練習問題B 11
\({\small (1)}~\)数列 \(1~,~-1~,~1~,~-1~,~1~,~\cdots\) は、奇数番目の項が \(1\)、偶数番目の項が \(-1\) であるので、
\(m\) を自然数として、\(n\) が偶数のときと奇数のときに分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~n=2m\) のとき
隣り合う \(2\) 項ずつ組にすると、\(1+(-1)=0\) が \(m\) 組できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{2m}&=&\left\{\,1+(-1)\,\right\}+\left\{\,1+(-1)\,\right\}+\cdots+\left\{\,1+(-1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&0+0+\cdots+0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&0+0+\cdots+0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}~n=2m-1\) のとき
隣り合う \(2\) 項ずつ組にすると、\(1+(-1)=0\) が \(m-1\) 組でき、最後の項 \(1\) が余るので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_{2m-1}&=&\left\{\,1+(-1)\,\right\}+\cdots+\left\{\,1+(-1)\,\right\}+1
\\[3pt]~~~&=&0+\cdots+0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&0+\cdots+0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(m=1\) のときも \(S_1=1\) となり成り立つ
よって、\(n\) が奇数のとき \(S_n=1\)、\(n\) が偶数のとき \(S_n=0\) となる
また、\(T_n\) についても、\(n\) が偶数のときと奇数のときに分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~n=2m\) のとき
\(S_1+S_2+\cdots+S_{2m}\) を隣り合う \(2\) 項ずつ組にすると、\(1+0=1\) が \(m\) 組できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&S_1+S_2+\cdots+S_{2m}
\\[3pt]~~~&=&(S_1+S_2)+(S_3+S_4)+\cdots+(S_{2m-1}+S_{2m})
\\[3pt]~~~&=&(1+0)+(1+0)+\cdots+(1+0)
\\[3pt]~~~&=&m\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(S_1+S_2)+(S_3+S_4)+\cdots+(S_{2m-1}+S_{2m})
\\[3pt]~~~&=&(1+0)+(1+0)+\cdots+(1+0)
\\[3pt]~~~&=&m\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}(S_1+S_2+\cdots+S_n)\) に \(n=2m\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~T_{2m}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2m\,} \cdot m
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~n=2m-1\) のとき
\(S_1+S_2+\cdots+S_{2m-1}\) を隣り合う \(2\) 項ずつ組にすると、\(1+0=1\) が \(m-1\) 組でき、最後の項 \(S_{2m-1}=1\) が余るので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&S_1+S_2+\cdots+S_{2m-1}
\\[3pt]~~~&=&(S_1+S_2)+\cdots+(S_{2m-3}+S_{2m-2})+S_{2m-1}
\\[3pt]~~~&=&(1+0)+\cdots+(1+0)+1
\\[3pt]~~~&=&(m-1)+1
\\[3pt]~~~&=&m\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(S_1+S_2)+\cdots+(S_{2m-3}+S_{2m-2})+S_{2m-1}
\\[3pt]~~~&=&(1+0)+\cdots+(1+0)+1
\\[3pt]~~~&=&(m-1)+1
\\[3pt]~~~&=&m\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(n=2m-1\) より \(m=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2\,}\) なので、\(T_n\) を \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~T_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \cdot \displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(n\) が奇数のとき \(S_n=1~,~T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\)、
\(n\) が偶数のとき \(S_n=0~,~T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\((1)\) より、\(n\) が奇数のとき \(T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\)、\(n\) が偶数のとき \(T_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\gt 0\) であるので、
すべての自然数 \(n\) について、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}T_n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\)
右辺の極限について、\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
左辺は定数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、右辺も \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) に収束するので、
したがって、はさみうちの原理より、数列 \(\{T_n\}\) は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) に収束する
