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rⁿを含む数列の極限 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(r \gt 0\) のとき、第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}\) で表される数列の極限を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.36 練習10
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\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~0 \lt r \lt 1\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分母 \(3+r^n\) は \(\infty\) に発散し、分子は \(2\) のままであるので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~0 \lt r \lt 1\) のとき
\(0 \lt r \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分母 \(3+r^n\) は \(3\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(0\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\(r \gt 1~,~r=1~,~0 \lt r \lt 1\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分母 \(3+r^n\) は \(\infty\) に発散し、分子は \(2\) のままであるので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~0 \lt r \lt 1\) のとき
\(0 \lt r \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分母 \(3+r^n\) は \(3\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+r^n\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(0\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(r \neq -1\) のとき、次の極限を求めよ。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.36 練習11
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\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~|\,r\,| \lt 1~,~r \lt -1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small [\,1\,]}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(-1\)
\(r=1\) のとき \(0\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(1\)
\(r \lt -1\) のとき \(-1\)
\(r \gt 1~,~r=1~,~|\,r\,| \lt 1~,~r \lt -1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small [\,1\,]}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(-1\)
\(r=1\) のとき \(0\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(1\)
\(r \lt -1\) のとき \(-1\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03数列 \(\left\{\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}\right\}\) の極限を、次の各場合について求めよ。
\({\small (1)}~r \gt 1\)
\({\small (2)}~r=1\)
\({\small (3)}~|\,r\,| \lt 1\)
\({\small (4)}~r \lt -1\)
\({\small (1)}~r \gt 1\)
\({\small (2)}~r=1\)
\({\small (3)}~|\,r\,| \lt 1\)
\({\small (4)}~r \lt -1\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.33 練習10
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.35 練習10
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\({\small (1)}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small (2)}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small (3)}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small (4)}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small (1)}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small (2)}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small (3)}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small (4)}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small (1)}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の極限を調べよ。
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}\) ただし、\(r \gt 0\)
\({\small (2)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}\) ただし、\(r \neq -1\)
\({\small (1)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}\) ただし、\(r \gt 0\)
\({\small (2)}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}\) ただし、\(r \neq -1\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.30 問7
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\({\small (1)}~\)\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~0 \lt r \lt 1\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(3r^n\) と分母 \(2+r^n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r^n\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2 \cdot 0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=3\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3 \cdot 1^n\,}{\,2+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,3\,]}~0 \lt r \lt 1\) のとき
\(0 \lt r \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分母 \(2+r^n\) は \(2\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 0\,}{\,2+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(3\)
\(r=1\) のとき \(1\)
\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(0\)
\({\small (2)}~\)\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~|\,r\,| \lt 1~,~r \lt -1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small [\,1\,]}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(-1\)
\(r=1\) のとき \(0\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(1\)
\(r \lt -1\) のとき \(-1\)
\(r \gt 1~,~r=1~,~0 \lt r \lt 1\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(3r^n\) と分母 \(2+r^n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r^n\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2 \cdot 0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=3\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3 \cdot 1^n\,}{\,2+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,3\,]}~0 \lt r \lt 1\) のとき
\(0 \lt r \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分母 \(2+r^n\) は \(2\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 0\,}{\,2+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3r^n\,}{\,2+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(3\)
\(r=1\) のとき \(1\)
\(0 \lt r \lt 1\) のとき \(0\)
\({\small (2)}~\)\(r^n\) の極限は \(r\) の値によって変わるので、
\(r \gt 1~,~r=1~,~|\,r\,| \lt 1~,~r \lt -1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~r \gt 1\) のとき
\(r \gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(1-r^n\) は \(-\infty\) に発散し、分母 \(1+r^n\) は \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,-\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 1\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^n=1^n=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r^n=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-1^n\,}{\,1+1^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=0\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n \to 0\) となり、分子 \(1-r^n\) と分母 \(1+r^n\) はともに \(1\) に収束するので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=1\) となる
\({\small [\,4\,]}~r \lt -1\) のとき
\(r \lt -1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(r^n\) は振動するので、分母・分子がともに振動し、このままでは極限が求められない
ここで、\({\small [\,1\,]}\) と同様に、分母・分子のすべての項を \(r^n\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}-\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^n\,}+\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,r^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n-1\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r \lt -1\) より \(-1 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,} \lt 0\) となり、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\,\right| \lt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-1\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(r \lt -1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-r^n\,}{\,1+r^n\,}=-1\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(r \gt 1\) のとき \(-1\)
\(r=1\) のとき \(0\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(1\)
\(r \lt -1\) のとき \(-1\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05第 \(n\) 項が次の式で表される数列の極限を調べよ。
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}\)
\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.62 練習問題A 5
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\({\small (1)}~\)\(r^{2n}=(r^2)^n\) であり、\(r^2 {\small ~≧~} 0\) より、\(r^{2n}\) の極限は \(r^2\) と \(1\) の大小によって変わるので、
\(|\,r\,| \gt 1~,~r=1~,~r=-1~,~|\,r\,| \lt 1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,| \gt 1\) のとき
\(|\,r\,| \gt 1\) より \(r^2 \gt 1\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分母 \(1+r^{2n}\) は \(\infty\) に発散し、分子 \(r^{2n+1}=r \cdot r^{2n}\) の絶対値も \(\infty\) に発散するので、このままでは極限が求められない
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^{2n}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,r^{2n}\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^{2n}\,}+\displaystyle \frac{\,r^{2n}\,}{\,r^{2n}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^{2n}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r^2 \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&r\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=r\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^{2n+1}=1~,~r^{2n}=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1^{2n+1}\,}{\,1+1^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~r=-1\) のとき
\(2n+1\) は奇数、\(2n\) は偶数より、すべての自然数 \(n\) で \(r^{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1~,~r^{2n}=(-1)^{2n}=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(-1)^{2n+1}\,}{\,1+(-1)^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=-1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,4\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より \(r^2 \lt 1\) となり、\(n \to \infty\) のとき \(r^{2n} \to 0\) 、\(r^{2n+1}=r \cdot r^{2n} \to 0\) となるので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=0\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(|\,r\,| \gt 1\) のとき \(r\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(r=-1\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(0\)
\({\small (2)}~\)\(r^{2n}=(r^2)^n\) であり、分子の \(2^{2n+1}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2n+1}&=&2 \cdot 2^{2n}
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot (2^2)^n
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 4^n\end{eqnarray}\)
と表せるので、
\(\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}\)
\((r^2)^n\) と \(4^n\) のどちらの底が大きいかによって極限が変わるので、
\(|\,r\,| \gt 2~,~|\,r\,|=2~,~|\,r\,| \lt 2\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,| \gt 2\) のとき
\(|\,r\,| \gt 2\) より \(r^2 \gt 4\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分子は \(\infty-\infty\) の不定形、分母は \(\infty\) に発散するので、分数全体として不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \((r^2)^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,(r^2)^n\,}-\displaystyle \frac{\,2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,(r^2)^n\,}+\displaystyle \frac{\,4^n\,}{\,(r^2)^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-2\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n\,}\end{eqnarray}\)
\(r^2 \gt 4\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2 \cdot 0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \gt 2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=1\) となる
\({\small [\,2\,]}~|\,r\,|=2\) のとき
\(r^2=4\) より、すべての自然数 \(n\) で \((r^2)^n=4^n\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,4^n-2 \cdot 4^n\,}{\,4^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,-4^n\,}{\,2 \cdot 4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,|=2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 2\) のとき
\(|\,r\,| \lt 2\) より \(0 {\small ~≦~} r^2 \lt 4\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分母の \(4^n\) は \(\infty\) に発散するので、このままでは極限が求められない
ここで、分母の底が最も大きい \(4^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,4^n\,}-\displaystyle \frac{\,2 \cdot 4^n\,}{\,4^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,4^n\,}+\displaystyle \frac{\,4^n\,}{\,4^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n-2\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(0 {\small ~≦~} r^2 \lt 4\) より \(0 {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-2\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=-2\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(|\,r\,| \gt 2\) のとき \(1\)
\(|\,r\,|=2\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,| \lt 2\) のとき \(-2\)
\(|\,r\,| \gt 1~,~r=1~,~r=-1~,~|\,r\,| \lt 1\) の \(4\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,| \gt 1\) のとき
\(|\,r\,| \gt 1\) より \(r^2 \gt 1\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分母 \(1+r^{2n}\) は \(\infty\) に発散し、分子 \(r^{2n+1}=r \cdot r^{2n}\) の絶対値も \(\infty\) に発散するので、このままでは極限が求められない
ここで、分母・分子のすべての項を \(r^{2n}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,r^{2n}\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^{2n}\,}+\displaystyle \frac{\,r^{2n}\,}{\,r^{2n}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^{2n}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(r^2 \gt 1\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r^2\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&r\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \gt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=r\) となる
\({\small [\,2\,]}~r=1\) のとき
すべての自然数 \(n\) で \(r^{2n+1}=1~,~r^{2n}=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1^{2n+1}\,}{\,1+1^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~r=-1\) のとき
\(2n+1\) は奇数、\(2n\) は偶数より、すべての自然数 \(n\) で \(r^{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1~,~r^{2n}=(-1)^{2n}=1\) となるので、不定形ではない
そのまま \(r=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(-1)^{2n+1}\,}{\,1+(-1)^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=-1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,4\,]}~|\,r\,| \lt 1\) のとき
\(|\,r\,| \lt 1\) より \(r^2 \lt 1\) となり、\(n \to \infty\) のとき \(r^{2n} \to 0\) 、\(r^{2n+1}=r \cdot r^{2n} \to 0\) となるので、不定形ではない
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n+1}\,}{\,1+r^{2n}\,}=0\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、求める極限は、
\(|\,r\,| \gt 1\) のとき \(r\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(r=-1\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,| \lt 1\) のとき \(0\)
\({\small (2)}~\)\(r^{2n}=(r^2)^n\) であり、分子の \(2^{2n+1}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2n+1}&=&2 \cdot 2^{2n}
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot (2^2)^n
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 4^n\end{eqnarray}\)
と表せるので、
\(\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}\)
\((r^2)^n\) と \(4^n\) のどちらの底が大きいかによって極限が変わるので、
\(|\,r\,| \gt 2~,~|\,r\,|=2~,~|\,r\,| \lt 2\) の \(3\) つの場合に分けて考える。
\({\small [\,1\,]}~|\,r\,| \gt 2\) のとき
\(|\,r\,| \gt 2\) より \(r^2 \gt 4\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分子は \(\infty-\infty\) の不定形、分母は \(\infty\) に発散するので、分数全体として不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \((r^2)^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,(r^2)^n\,}-\displaystyle \frac{\,2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,(r^2)^n\,}+\displaystyle \frac{\,4^n\,}{\,(r^2)^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1-2\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n\,}\end{eqnarray}\)
\(r^2 \gt 4\) より \(0 \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,r^2\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2 \cdot 0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \gt 2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=1\) となる
\({\small [\,2\,]}~|\,r\,|=2\) のとき
\(r^2=4\) より、すべての自然数 \(n\) で \((r^2)^n=4^n\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,4^n-2 \cdot 4^n\,}{\,4^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,-4^n\,}{\,2 \cdot 4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,|=2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small [\,3\,]}~|\,r\,| \lt 2\) のとき
\(|\,r\,| \lt 2\) より \(0 {\small ~≦~} r^2 \lt 4\) となり、\(n \to \infty\) のとき、分母の \(4^n\) は \(\infty\) に発散するので、このままでは極限が求められない
ここで、分母の底が最も大きい \(4^n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(r^2)^n-2 \cdot 4^n\,}{\,(r^2)^n+4^n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,4^n\,}-\displaystyle \frac{\,2 \cdot 4^n\,}{\,4^n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,(r^2)^n\,}{\,4^n\,}+\displaystyle \frac{\,4^n\,}{\,4^n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n-2\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n+1\,}\end{eqnarray}\)
\(0 {\small ~≦~} r^2 \lt 4\) より \(0 {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,} \lt 1\) となり、
\(n \to \infty\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,4\,}\right)^n \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,0-2\,}{\,0+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,r\,| \lt 2\) のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,r^{2n}-2^{2n+1}\,}{\,r^{2n}+4^n\,}=-2\) となる
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、求める極限は、
\(|\,r\,| \gt 2\) のとき \(1\)
\(|\,r\,|=2\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,| \lt 2\) のとき \(-2\)
