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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01数列 \(\{a_n\}\) は、\(a_1=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3-a_n\,}~~\)\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) で定義されている。
\({\small (1)}~\)\(a_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}\) であることを、数学的帰納法によって証明せよ。
\({\small (2)}~\)数列 \(\{a_n\}\) の極限を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}\) であることを、数学的帰納法によって証明せよ。
\({\small (2)}~\)数列 \(\{a_n\}\) の極限を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.71 演習問題A 5
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 7
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.67 章末問題B 7
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,2^{1-1}+2\,}{\,2^{1-1}+1\,}=\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \({\small [\,1\,]}\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3-a_k\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_{k+1}}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3-\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}{\,\left(3-\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\right){\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3(2^{k-1}+1)-(2^{k-1}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3 \cdot 2^{k-1}+3-2^{k-1}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,2 \cdot 2^{k-1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^k+2\,}{\,2^k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{(k+1)-1}+2\,}{\,2^{(k+1)-1}+1\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}{\,\left(3-\displaystyle \frac{\,2^{k-1}+2\,}{\,2^{k-1}+1\,}\right){\, \small \times \,}(2^{k-1}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3(2^{k-1}+1)-(2^{k-1}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,3 \cdot 2^{k-1}+3-2^{k-1}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{k-1}+1)\,}{\,2 \cdot 2^{k-1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^k+2\,}{\,2^k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{(k+1)-1}+2\,}{\,2^{(k+1)-1}+1\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
一般項 \(a_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}\) である数列の極限について、
\(2\gt 1\) より、\(n \to \infty\) のとき、分子 \(2^{n-1}+2\) と分母 \(2^{n-1}+1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の底が最も大きい \(2^{n-1}\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+2\,}{\,2^{n-1}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2^{n-1}\,}{\,2^{n-1}\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2^{n-1}\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2^{n-1}\,}{\,2^{n-1}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{n-1}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+2\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\,}{\,1+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \,\right|\lt 1\) より \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2 \cdot 0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=1\) となる
