このページは、「数直線を動く点と無限等比級数」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01数直線上で、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) から出発して、正の向きに \(1\) だけ進み、次に負の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) だけ進む。更に、正の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,}\) だけ進み、次に負の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^3\,}\) だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.42 練習16
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点 \({\rm P}\) の座標は、順に次のようになる
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \(x\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^3\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 3\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right) \cdot 3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) の点に近づく
\(1~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^3\,}~,~\cdots\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \(x\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^3\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 3\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right) \cdot 3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) の点に近づく
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02座標平面上で、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) から出発して、\(x\) 軸の正の向きに \(1\) だけ進み、次に \(y\) 軸の正の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) だけ進み、次に \(x\) 軸の正の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}\) だけ進み、次に \(y\) 軸の正の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}\) だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.48 問題 6
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.67 章末問題A 3
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点 \({\rm P}\) の \(x\) 座標は、順に次のようになる
\(1~,~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}~,~\cdots\)
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \((x~,~y)\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 4\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^5\,}~,~\cdots\)
よって、\(y\) は初項 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^5\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\) の点に近づく
\(1~,~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}~,~\cdots\)
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \((x~,~y)\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 4\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標は、順に次のようになる
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^5\,}~,~\cdots\)
よって、\(y\) は初項 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 、公比 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^5\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\) の点に近づく
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03数直線上で、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) から正の向きに \(1\) だけ進み、そこから負の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}\) 、そこから正の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}\) 、そこから負の向きに \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}\) と進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.39 練習15
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.41 練習15
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点 \({\rm P}\) の座標は、順に次のようになる
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \(x\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 4\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) の点に近づく
\(1~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}~,~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}~,~\cdots\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、点 \({\rm P}\) が近づいていく点の座標を \(x\) とすると、\(x\) は初項 \(1\) 、公比 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の無限等比級数で表されるので、
\(x=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}+\cdots\)
公比について \(\left|\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right|\lt 1\) であるから、この無限等比級数は収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 4\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right) \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は座標 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) の点に近づく
