このページは、「無限級数が発散することの証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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無限級数が発散することの証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の無限級数は発散することを示せ。
\({\small (1)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\)
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
\({\small (1)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\)
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.46 問5
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\({\small (1)}~\)[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=(-1)^{n-1}(2n-1)\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\) は発散する
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=1 \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) は発散する
[終]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=(-1)^{n-1}(2n-1)\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\) は発散する
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=1 \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) は発散する
[終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の無限級数の収束、発散を調べよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\)
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\)
\({\small (1)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\)
\({\small (2)}~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\)
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.46 練習20
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\({\small (1)}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=(-1)^{n-1}n\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\) は発散する
\({\small (2)}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,2-0\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\) は発散する
\(a_n=(-1)^{n-1}n\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\) は発散する
\({\small (2)}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,3n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,2-0\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,2n-1\,}{\,3n\,}\) は発散する
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\) は発散することを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.42 練習18
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[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\) は発散する
[終]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、振動して極限はない
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)\) は発散する
[終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の無限級数は発散することを示せ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}+1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,4\,}+\sqrt{\,3\,}\,}+\cdots\cdots+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}+\cdots\cdots\)
※ 数式は横にスクロールできます。
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.44 補充問題 3
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[証明]
この無限級数の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、\(a_n \to 0\) となるので、第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) の極限を調べる
まず、\(a_n\) の分母を有理化すると、
これより、部分和 \(S_n\) は、
部分和 \(S_n\) の極限について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\sqrt{\,n+1\,}-1)
\\[3pt]~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
よって、数列 \(\{S_n\}\) は \(\infty\) に発散する
したがって、この無限級数は発散する
[終]
この無限級数の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、\(a_n \to 0\) となるので、第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) の極限を調べる
まず、\(a_n\) の分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}{\,(\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,})(\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}{\,(n+1)-n\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}{\,(\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,})(\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}{\,(n+1)-n\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、部分和 \(S_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&(\sqrt{\,2\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-\sqrt{\,2\,})+(\sqrt{\,4\,}-\sqrt{\,3\,})+\cdots+(\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,})
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
部分和 \(S_n\) の極限について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\sqrt{\,n+1\,}-1)
\\[3pt]~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
よって、数列 \(\{S_n\}\) は \(\infty\) に発散する
したがって、この無限級数は発散する
[終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の第 \(n\) 項までの部分和を \(S_n\) とする。\(n{\small ~≧~}2\) のとき、\(a_n=S_n-S_{n-1}\) であることを利用して、次のことを証明せよ。
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束する \(~\Rightarrow~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\)
\({\small (2)}~{\small (1)}\) の命題の対偶を用いて、次の無限級数が発散することを証明せよ。
\({\small (1)}~\)無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の第 \(n\) 項までの部分和を \(S_n\) とする。\(n{\small ~≧~}2\) のとき、\(a_n=S_n-S_{n-1}\) であることを利用して、次のことを証明せよ。
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束する \(~\Rightarrow~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\)
\({\small (2)}~{\small (1)}\) の命題の対偶を用いて、次の無限級数が発散することを証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}+\cdots\cdots+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}+\cdots\cdots\)
※ 数式は横にスクロールできます。
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.67 章末問題B 9
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\({\small (1)}~\)[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の第 \(n\) 項までの部分和を \(S_n\) とすると、\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n\)
また、第 \(n-1\) 項までの部分和 \(S_{n-1}\) は、
\(S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\)
この2式の差より、
よって、
\(a_n=S_n-S_{n-1}\)
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束するとき、その和を \(S\) とすると、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=S\)
また、\(n \to \infty\) のとき、\(n-1 \to \infty\) となるので、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}(S_n-S_{n-1})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n-\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&S-S
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束するならば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\) となる
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\({\small (1)}\) の命題の対偶は、
数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない \(~\Longrightarrow~\) 無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) は発散する
この無限級数の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=1 \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、\({\small (1)}\) の命題の対偶より、この無限級数は発散する
[終]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) の第 \(n\) 項までの部分和を \(S_n\) とすると、\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n\)
また、第 \(n-1\) 項までの部分和 \(S_{n-1}\) は、
\(S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\)
この2式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n-S_{n-1}&=&(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n)-(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})
\\[3pt]~~~&=&a_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(a_n=S_n-S_{n-1}\)
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束するとき、その和を \(S\) とすると、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=S\)
また、\(n \to \infty\) のとき、\(n-1 \to \infty\) となるので、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}(S_n-S_{n-1})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n-\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&S-S
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) が収束するならば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\) となる
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\({\small (1)}\) の命題の対偶は、
数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない \(~\Longrightarrow~\) 無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) は発散する
この無限級数の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=1 \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、\({\small (1)}\) の命題の対偶より、この無限級数は発散する
[終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) は発散することを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.39 問15
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[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\)
分子の数列の和について、和の公式を用いて \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\,}{\,n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}\end{eqnarray}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) は発散する
[終]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\)
分子の数列の和について、和の公式を用いて \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\,}{\,n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}\end{eqnarray}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) は発散する
[終]
