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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01等式 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}=1\) が成り立つように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.52 練習24
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分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 0}x=0\) であり、左辺は極限値 \(1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(a\sqrt{\,x+4\,}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,0+4\,}+b&=&0\\[3pt]~~~2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-2a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}-2a\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+4\,}+2\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+4\,})^2-2^2\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(x+4)-4\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,0+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}&=&1\\[5pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=-8\) となる
したがって、\(a=4~,~b=-8\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(a\sqrt{\,x+4\,}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,0+4\,}+b&=&0\\[3pt]~~~2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-2a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}-2a\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+4\,}+2\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+4\,})^2-2^2\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(x+4)-4\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,0+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}&=&1\\[5pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=-8\) となる
したがって、\(a=4~,~b=-8\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,ax+1\,}-3\,}{\,x-2\,}\) が \(x \to 2\) のとき収束するように、定数 \(a\) の値を定めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.70 問題 9
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分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x-2)=0\) であり、\(f(x)\) は収束するので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(\sqrt{\,ax+1\,}-3)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2a+1\,}-3&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{\,2a+1\,}&=&3\\[3pt]~~~2a+1&=&9\\[3pt]~~~2a&=&8\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
\(a=4\) を \(f(x)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,4x+1\,}-3\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,4x+1\,}+3\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,4x+1\,}-3)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,4x+1\,})^2-3^2\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(4x+1)-9\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4x-8\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4(x-2)\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{(x-2)}(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4x+1\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4 \cdot 2+1\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,9\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=4\) 、極限値は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(\sqrt{\,ax+1\,}-3)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2a+1\,}-3&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{\,2a+1\,}&=&3\\[3pt]~~~2a+1&=&9\\[3pt]~~~2a&=&8\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
\(a=4\) を \(f(x)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,4x+1\,}-3\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,4x+1\,}+3\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,4x+1\,}-3)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,4x+1\,})^2-3^2\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(4x+1)-9\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4x-8\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4(x-2)\,}{\,(x-2)(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{(x-2)}(\sqrt{\,4x+1\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4x+1\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,4 \cdot 2+1\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,9\,}+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=4\) 、極限値は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の等式が成り立つように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}+b\,}{\,x-2\,}=-1\)
\({\small (2)}~\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}=1\)
\({\small (1)}~\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}+b\,}{\,x-2\,}=-1\)
\({\small (2)}~\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}=1\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.48 練習22
数研出版｜新編数学Ⅲ[104-904] p.48 練習21
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\({\small (1)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x-2)=0\) であり、左辺は極限値 \(-1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(a\sqrt{x}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{2}+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-\sqrt{2}a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}+b\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-\sqrt{2}a\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-\sqrt{2})\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{x}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2\}\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(x-2)\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{(x-2)}(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{x}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{2}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(-1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}&=&-1\\[5pt]~~~a&=&-2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=4\) となる
したがって、\(a=-2\sqrt{2}~,~b=4\) となる
\({\small (2)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 0}x=0\) であり、左辺は極限値 \(1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(a\sqrt{\,x+4\,}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,0+4\,}+b&=&0\\[3pt]~~~2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-2a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}-2a\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+4\,}+2\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+4\,})^2-2^2\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(x+4)-4\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,0+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}&=&1\\[5pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=-8\) となる
したがって、\(a=4~,~b=-8\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(a\sqrt{x}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{2}+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-\sqrt{2}a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}+b\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-\sqrt{2}a\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-\sqrt{2})\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{x}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2\}\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a(x-2)\,}{\,(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{(x-2)}(\sqrt{x}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{x}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{2}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(-1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}&=&-1\\[5pt]~~~a&=&-2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=4\) となる
したがって、\(a=-2\sqrt{2}~,~b=4\) となる
\({\small (2)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 0}x=0\) であり、左辺は極限値 \(1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(a\sqrt{\,x+4\,}+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,0+4\,}+b&=&0\\[3pt]~~~2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-2a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}+b\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+4\,}-2a\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+4\,}+2\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+4\,}-2)(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+4\,})^2-2^2\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\{(x+4)-4\}\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x+4\,}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,0+4\,}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,4\,}&=&1\\[5pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=-8\) となる
したがって、\(a=4~,~b=-8\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,x^2+a\,}{\,x-2\,}\) が \(x \to 2\) のとき収束するように、定数 \(a\) の値を定め、極限値 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.66 問題 8
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分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x-2)=0\) であり、\(f(x)\) は収束するので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x^2+a)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2+a&=&0\\[3pt]~~~4+a&=&0\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
\(a=-4\) を \(f(x)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2)\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(x+2)\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{x-2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}(x+2)
\\[5pt]~~~&=&2+2
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4\) 、\(\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)=4\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 2}(x^2+a)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2+a&=&0\\[3pt]~~~4+a&=&0\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
\(a=-4\) を \(f(x)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}\end{eqnarray}\)
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2)\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,(x+2)\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{x-2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}(x+2)
\\[5pt]~~~&=&2+2
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4\) 、\(\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)=4\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の \(2\) つの条件 \({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) をともに満たす \(2\) 次関数 \(f(x)\) を求めよ。
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}=2\)
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}=-1\)
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}=2\)
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}=-1\)
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 9
数研出版｜新編数学Ⅲ[104-904] p.67 章末問題B 10
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\(2\) 次関数を \(f(x)=ax^2+bx+c~(a \neq 0)\) とおくと、
\({\small [\,1\,]}\) について、分母の最高次の項 \(x^2\) で分母と分子を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,ax^2+bx+c\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+0+0\,}{\,1-0\,}
\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(2\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,2\,]}\) について、分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2-1)=0\) であり、左辺は極限値 \(-1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&0\\[3pt]~~~a+b+c&=&0\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) より、\(a=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+b+c&=&0\\[3pt]~~~c&=&-b-2~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}~,~{\rm [\,B\,]}\) を等式の左辺に代入して \(c\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2x^2+bx-b-2\,}{\,x^2-1\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(2x^2-2)+(bx-b)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2(x+1)(x-1)+b(x-1)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(x-1)\{2(x+1)+b\}\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\cancel{(x-1)}(2x+2+b)\,}{\,(x+1)\cancel{(x-1)}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2x+2+b\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 1+2+b\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b+4\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(-1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b+4\,}{\,2\,}&=&-1\\[5pt]~~~b+4&=&-2\\[3pt]~~~b&=&-6\end{eqnarray}\)
また、\({\rm [\,B\,]}\) より、\(c=-(-6)-2=4\) となる
したがって、\(f(x)=2x^2-6x+4\) となる
\({\small [\,1\,]}\) について、分母の最高次の項 \(x^2\) で分母と分子を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,ax^2+bx+c\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+0+0\,}{\,1-0\,}
\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(2\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,2\,]}\) について、分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2-1)=0\) であり、左辺は極限値 \(-1\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&0\\[3pt]~~~a+b+c&=&0\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) より、\(a=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+b+c&=&0\\[3pt]~~~c&=&-b-2~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}~,~{\rm [\,B\,]}\) を等式の左辺に代入して \(c\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,f(x)\,}{\,x^2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2x^2+bx-b-2\,}{\,x^2-1\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(2x^2-2)+(bx-b)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2(x+1)(x-1)+b(x-1)\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,(x-1)\{2(x+1)+b\}\,}{\,(x+1)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\cancel{(x-1)}(2x+2+b)\,}{\,(x+1)\cancel{(x-1)}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,2x+2+b\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 1+2+b\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b+4\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(-1\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b+4\,}{\,2\,}&=&-1\\[5pt]~~~b+4&=&-2\\[3pt]~~~b&=&-6\end{eqnarray}\)
また、\({\rm [\,B\,]}\) より、\(c=-(-6)-2=4\) となる
したがって、\(f(x)=2x^2-6x+4\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の等式が成り立つような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+b\,}{\,x+2\,}=3\)
\({\small (2)}~\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-b\,}{\,x-1\,}=\sqrt{2}\)
\({\small (1)}~\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+b\,}{\,x+2\,}=3\)
\({\small (2)}~\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-b\,}{\,x-1\,}=\sqrt{2}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.44 問3
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\({\small (1)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to -2}(x+2)=0\) であり、左辺は極限値 \(3\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to -2}(x^2+ax+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)^2+a \cdot (-2)+b&=&0\\[3pt]~~~4-2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&2a-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+b\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+2a-4\,}{\,x+2\,}\end{eqnarray}\)
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x^2-4)+(ax+2a)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2)+a(x+2)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2+a)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,\cancel{(x+2)}(x-2+a)\,}{\,\cancel{x+2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}(x+a-2)
\\[5pt]~~~&=&-2+a-2
\\[5pt]~~~&=&a-4\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(3\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~a-4&=&3\\[3pt]~~~a&=&7\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=2 \cdot 7-4=10\) となる
したがって、\(a=7~,~b=10\) となる
\({\small (2)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x-1)=0\) であり、左辺は極限値 \(\sqrt{2}\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(a\sqrt{\,x+1\,}-b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,1+1\,}-b&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{2}a-b&=&0\\[3pt]~~~b&=&\sqrt{2}a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{2}a\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{2})\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
左辺の極限値が右辺の \(\sqrt{2}\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}&=&\sqrt{2}\\[5pt]~~~a&=&2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=4\sqrt{2}\) となる
したがって、\(a=4~,~b=4\sqrt{2}\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to -2}(x^2+ax+b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)^2+a \cdot (-2)+b&=&0\\[3pt]~~~4-2a+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&2a-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+b\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,x^2+ax+2a-4\,}{\,x+2\,}\end{eqnarray}\)
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x^2-4)+(ax+2a)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2)+a(x+2)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2+a)\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}\displaystyle \frac{\,\cancel{(x+2)}(x-2+a)\,}{\,\cancel{x+2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to -2}(x+a-2)
\\[5pt]~~~&=&-2+a-2
\\[5pt]~~~&=&a-4\end{eqnarray}\)
左辺の極限値が右辺の \(3\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~a-4&=&3\\[3pt]~~~a&=&7\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=2 \cdot 7-4=10\) となる
したがって、\(a=7~,~b=10\) となる
\({\small (2)}~\)分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x-1)=0\) であり、左辺は極限値 \(\sqrt{2}\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 1}(a\sqrt{\,x+1\,}-b)=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a\sqrt{\,1+1\,}-b&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{2}a-b&=&0\\[3pt]~~~b&=&\sqrt{2}a~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{2}a\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{2})\,}{\,x-1\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子に \(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{2})(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+1\,})^2-(\sqrt{2})^2\}\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\{(x+1)-2\}\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(x-1)\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\cancel{(x-1)}\,}{\,\cancel{(x-1)}(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,1+1\,}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\{(\sqrt{\,x+1\,})^2-(\sqrt{2})^2\}\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\{(x+1)-2\}\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a(x-1)\,}{\,(x-1)(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\cancel{(x-1)}\,}{\,\cancel{(x-1)}(\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,x+1\,}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sqrt{\,1+1\,}+\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺の極限値が右辺の \(\sqrt{2}\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\sqrt{2}\,}&=&\sqrt{2}\\[5pt]~~~a&=&2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=4\sqrt{2}\) となる
したがって、\(a=4~,~b=4\sqrt{2}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-(ax+b)\,}{\,x\,}=2\) が成り立つような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.63 練習問題B 12
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分母について \(\displaystyle\lim_{x \to 0}x=0\) であり、左辺は極限値 \(2\) をもつので、
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\{\sqrt{\,x^2+2\,}-(ax+b)\}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,0^2+2\,}-(a \cdot 0+b)&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{2}-b&=&0\\[3pt]~~~b&=&\sqrt{2}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-(ax+b)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-ax-\sqrt{2}\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-\sqrt{2}\,}{\,x\,}-\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-\sqrt{2}\,}{\,x\,}-a\right)\end{eqnarray}\)
第 \(1\) 項の分母と分子に \(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
左辺の極限値が右辺の \(2\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-a&=&2\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=\sqrt{2}\) となる
したがって、\(a=-2~,~b=\sqrt{2}\) となる
分子についても \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\{\sqrt{\,x^2+2\,}-(ax+b)\}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,0^2+2\,}-(a \cdot 0+b)&=&0\\[3pt]~~~\sqrt{2}-b&=&0\\[3pt]~~~b&=&\sqrt{2}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を等式の左辺に代入して \(b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-(ax+b)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-ax-\sqrt{2}\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-\sqrt{2}\,}{\,x\,}-\displaystyle \frac{\,ax\,}{\,x\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2+2\,}-\sqrt{2}\,}{\,x\,}-a\right)\end{eqnarray}\)
第 \(1\) 項の分母と分子に \(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2}\) を掛けて約分すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x^2+2\,}-\sqrt{2})(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x^2+2\,})^2-(\sqrt{2})^2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,(x^2+2)-2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,x\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2}\,}-a\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,\sqrt{\,0^2+2\,}+\sqrt{2}\,}-a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\sqrt{2}\,}-a
\\[5pt]~~~&=&0-a
\\[5pt]~~~&=&-a\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,x^2+2\,})^2-(\sqrt{2})^2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,(x^2+2)-2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,x(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,x\cancel{x}\,}{\,\cancel{x}(\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2})\,}-a\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,x^2+2\,}+\sqrt{2}\,}-a\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,\sqrt{\,0^2+2\,}+\sqrt{2}\,}-a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\sqrt{2}\,}-a
\\[5pt]~~~&=&0-a
\\[5pt]~~~&=&-a\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺の極限値が右辺の \(2\) と等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-a&=&2\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=\sqrt{2}\) となる
したがって、\(a=-2~,~b=\sqrt{2}\) となる
