- 数学Ⅲ｜極限「数列の収束と発散」の基本例題解説ページです。
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問題｜数列の収束と発散
極限 01第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}~,~\)\(\sqrt{n}~,~\)\(-n^2~,~\)\((-1)^{n-1}\) で表される数列の収束or発散の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
数列の収束と発散
Point：数列の収束と発散
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\)
と書き、この値 \(\alpha\) を数列 \(\{a_n\}\) の極限値という。
このとき、数列 \(\{a_n\}\) は \(\alpha\) に収束するという。
数列の極限は、次のように分類される。
\({\small [\,1\,]}\) 収束
① \(a_n\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づく。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\) 極限値は \(\alpha\) である
\({\small [\,2\,]}\) 発散（収束しない）
② \(a_n\) が限りなく大きくなる。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\) 正の無限大に発散する
③ \(a_n\) が負で、その絶対値が限りなく大きくなる。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=-\infty\) 負の無限大に発散する
④ 収束せず、正の無限大にも負の無限大にも発散しない。
振動する（極限はない）
数列 \(\{a_n\}\) において、\(n\) を限りなく大きくするとき、\(a_n\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づくならば、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\)
と書き、この値 \(\alpha\) を数列 \(\{a_n\}\) の極限値という。
このとき、数列 \(\{a_n\}\) は \(\alpha\) に収束するという。
数列の極限は、次のように分類される。
\({\small [\,1\,]}\) 収束
① \(a_n\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づく。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha\) 極限値は \(\alpha\) である
\({\small [\,2\,]}\) 発散（収束しない）
② \(a_n\) が限りなく大きくなる。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\) 正の無限大に発散する
③ \(a_n\) が負で、その絶対値が限りなく大きくなる。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=-\infty\) 負の無限大に発散する
④ 収束せず、正の無限大にも負の無限大にも発散しない。
振動する（極限はない）
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詳しい解説｜数列の収束と発散
極限 01第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}~,~\)\(\sqrt{n}~,~\)\(-n^2~,~\)\((-1)^{n-1}\) で表される数列の収束or発散の調べ方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) の数列を書き並べると、
\(1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\cdots~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}~,~\cdots\)
\(n\) を限りなく大きくすると、第 \(n\) 項は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0\)
したがって、\(0\) に収束する
第 \(n\) 項が \(\sqrt{n}\) の数列を書き並べると、
\(1~,~\sqrt{2}~,~\sqrt{3}~,~2~,~\cdots~,~\sqrt{n}~,~\cdots\)
\(n\) を限りなく大きくすると、第 \(n\) 項は限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}=\infty\)
したがって、正の無限大に発散する
第 \(n\) 項が \(-n^2\) の数列を書き並べると、
\(-1~,~-4~,~-9~,~-16~,~\cdots~,~-n^2~,~\cdots\)
\(n\) を限りなく大きくすると、第 \(n\) 項は負で、その絶対値が限りなく大きくなるので、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(-n^2)=-\infty\)
したがって、負の無限大に発散する
第 \(n\) 項が \((-1)^{n-1}\) の数列を書き並べると、
\(1~,~-1~,~1~,~-1~,~\cdots~,~(-1)^{n-1}~,~\cdots\)
\(n\) を限りなく大きくしても、第 \(n\) 項は \(1\) と \(-1\) を交互にとり、一定の値に近づかない
また、正の無限大にも負の無限大にも発散しない
したがって、振動し、極限はない
