- 数学Ⅲ｜極限「数列の極限の性質を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜数列の極限の性質を用いた計算
極限 02極限値 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=2~,~\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=-3\) のとき、\(3a_n-4b_n\) や \(a_nb_n\) の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
数列の極限の性質を用いた計算
Point：数列の極限の性質を用いた計算
① 分配法則を用いて、それぞれの数列の極限に分ける。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(ka_n+lb_n)=k\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n+l\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n \cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\)
② 収束する値を代入して、極限値を求める。
※ \(k~,~l\) は定数とする。
数列 \(\{\,a_n\,\}~,~\{\,b_n\,\}\) が収束するとき、極限の計算は、
① 分配法則を用いて、それぞれの数列の極限に分ける。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(ka_n+lb_n)=k\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n+l\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n \cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\)
② 収束する値を代入して、極限値を求める。
※ \(k~,~l\) は定数とする。
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詳しい解説｜数列の極限の性質を用いた計算
極限 02極限値 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=2~,~\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=-3\) のとき、\(3a_n-4b_n\) や \(a_nb_n\) の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
数列の極限の性質より、分配法則を用いて、それぞれの数列の極限に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{n \to \infty}(3a_n-4b_n)
\\[5pt]~~~&=&3\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n-4\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=2~,~\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=-3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3 \cdot 2-4 \cdot (-3)
\\[3pt]~~~&=&6+12
\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(3a_n-4b_n)=18\) となる
数列の極限の性質より、積をそれぞれの数列の極限の積に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n \cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=2~,~\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=-3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2 \cdot (-3)
\\[3pt]~~~&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n=-6\) となる
