- 数学Ⅲ｜極限「数列の極限と不定形」の基本例題解説ページです。
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問題｜数列の極限と不定形
極限 03第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}~,~\)\(n^3-n^2~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}\) である数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
数列の極限と不定形
Point：数列の極限と不定形
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、最高次数の文字でくくる。
\(n^3-n^2=n^3\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}=\displaystyle \frac{\,3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}\)
④ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0~,~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}=0\) などを用いて、極限を求める。
\(n \to \infty\) のとき、そのままでは極限が決まらない次の形を不定形という。
\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}~,~\infty-\infty\)
※ 不定形は、式を変形して不定形を解消してから極限を求める。
不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの分母・分子や各項の極限を調べて、不定形かどうかを確認する。
② \(\infty-\infty\) の形のときは、最高次数の文字でくくる。
\(n^3-n^2=n^3\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)\)
③ \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形のときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割る。
\(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}=\displaystyle \frac{\,3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}\)
④ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0~,~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}=0\) などを用いて、極限を求める。
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詳しい解説｜数列の極限と不定形
極限 03第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}~,~\)\(n^3-n^2~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}\) である数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(2n+1\) と分母 \(n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2+0
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}=2\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(3n^2-n+1\) と分母 \(n^2+1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n^2\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3n^2\,}{\,n^2\,}-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,n^2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-0+0\,}{\,1+0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}=3\) となる
第 \(n\) 項が \(n^3-n^2\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、\(n^3\) と \(n^2\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、最高次数の文字 \(n^3\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n^3-n^2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(n^3\cdot 1-n^3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^3\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(n^3\) は \(\infty\) に発散し、
\(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) より \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n^3-n^2)=\infty\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(n+1\) と分母 \(2n-1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2-0\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(n^2+n+1\) と分母 \(n+1\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) であり、
分子 \(n+1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) は \(\infty\) に発散し、
分母 \(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) は \(1\) に収束するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
※ 分子が \(\infty\) に発散し、分母が正の値に収束するので、不定形ではない。
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}=\infty\) となる
