- 数学Ⅲ｜関数「分数関数の逆関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜分数関数の逆関数
関数 15分数関数 \( y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,} \) の逆関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
分数関数の逆関数
Point：分数関数の逆関数
① 分数関数の値域を求める。
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2 \) より、値域は \( y\ne 2 \)
② 分数関数を \( x \) について解く。
\( y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,} ~\Leftrightarrow ~ x=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,y-2\,} \)
③ \( x \) と \( y \) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\( y=\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-2\,}~~(\,x\ne 2\,)\)
分数関数の逆関数の求め方は、
① 分数関数の値域を求める。
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2 \) より、値域は \( y\ne 2 \)
② 分数関数を \( x \) について解く。
\( y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,} ~\Leftrightarrow ~ x=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,y-2\,} \)
③ \( x \) と \( y \) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\( y=\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-2\,}~~(\,x\ne 2\,)\)
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詳しい解説｜分数関数の逆関数
関数 15分数関数 \( y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,} \) の逆関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\( y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,} \) より、
分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\( 2x-1=2(x-1)+1 \)
※ \( 2(x-1)=2x-2 \) より、\(+1\) する。
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)+1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2
\end{eqnarray}\)
よって、値域は \( y\ne 2 \)
次に、分数関数を \( x \) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~y(x-1)&=&2x-1
\\[3pt]~~~xy-y&=&2x-1
\\[3pt]~~~xy-2x&=&y-1
\\[3pt]~~~(y-2)x&=&y-1
\end{eqnarray}\)
\( y\ne 2 \) より、\(y-2\) で割ると、
\(\hspace{38pt} x=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,y-2\,} \)
\( x \) と \( y \) を入れ替えて逆関数を求めると、
\( y=\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-2\,} \)
また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、
\( x\ne 2 \)
したがって、
逆関数は \( y=\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-2\,}~~(\,x\ne 2\,)\)
