指数関数・対数関数の逆関数

指数関数 \(y=2^x\) より、値域は \(y \gt 0\) となる

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両辺に底 \(2\) の対数をとり、\(x\) について解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^x
\\[3pt]~~~\log_{2}y&=&\log_{2}2^x
\\[3pt]~~~\log_{2}y&=&x \cdot \log_{2}2
\\[3pt]~~~\log_{2}y&=&x\hspace{30pt}(\,∵~ \log_{2}2=1\,)
\\[3pt]~~~x&=&\log_{2}y\end{eqnarray}\)

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\(x\) と \(y\) を入れ替えると、

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　\(y=\log_{2}x\)

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また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、

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　\(x \gt 0\)

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したがって、

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　逆関数は　\(y=\log_{2}{x}~~(\,x \gt 0\,)\)

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また、逆関数のグラフは、もとの関数 \(y=2^x\) のグラフと直線 \(y=x\) に関して対称である

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\( y=\log_{2}x \) より、

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定義域は \( x \gt 0 \) 、値域は実数全体となる

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対数関数 \( y=\log_{2}x \) を \( x \) について解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}x
\\[3pt]~~~y\log_{2}2&=&\log_{2}x\hspace{20pt}(\,∵~ \log_{2}2=1\,)
\\[3pt]~~~\log_{2}2^{y}&=&\log_{2}x
\end{eqnarray}\)

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真数を比較すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2^{y}&=&x
\\[3pt]~~~x&=&2^{y}
\end{eqnarray}\)

\( x \) と \( y \) を入れ替えると、

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　\( y=2^{x} \)

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また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、定義域は実数全体

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したがって、

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　逆関数は \( y=2^{x} \)、定義域は実数全体

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また、逆関数 \( y=2^{x} \) のグラフは、もとの関数 \( y=\log_{2}x \) のグラフと直線 \( y=x \) に関して対称である

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