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問題｜逆関数の条件ともとの関数
関数 171次関数 \( f(x)=ax+b \) について、\( f(1)=4~,~\)\( f^{-1}(-2)=-1 \) が成り立つとき \( f(x) \) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
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逆関数の条件ともとの関数
解法のPoint
逆関数の条件ともとの関数
Point：逆関数の条件ともとの関数関数 \( f(x) \) と逆関数 \( f^{-1}(x) \) について、条件から定数を決定する方法は、
① 関数 \( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) を求める。
\( f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \)
② \( f(x) \) と \( f^{-1}(x) \) の条件より、係数 \( a~,~b \) を求める。
条件 \( f(1)=4~,~\)\( f^{-1}(-2)=-1 \) より、
\( \left\{~\begin{array}{l}a+b=4\\a-b=2\end{array}\right.~\Rightarrow~a=3~,~b=1 \)
① 関数 \( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) を求める。
\( f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \)
② \( f(x) \) と \( f^{-1}(x) \) の条件より、係数 \( a~,~b \) を求める。
条件 \( f(1)=4~,~\)\( f^{-1}(-2)=-1 \) より、
\( \left\{~\begin{array}{l}a+b=4\\a-b=2\end{array}\right.~\Rightarrow~a=3~,~b=1 \)
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詳しい解説｜逆関数の条件ともとの関数
関数 171次関数 \( f(x)=ax+b \) について、\( f(1)=4~,~\)\( f^{-1}(-2)=-1 \) が成り立つとき \( f(x) \) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\( f(x)=ax+b~~~\cdots {\small [\,1\,]} \)
\( y=ax+b \) とおき、\( x \) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax+b
\\[5pt]~~~-ax&=&-y+b
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-ax\,}{\,-a\,}&=&\displaystyle \frac{\,-y\,}{\,-a\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,-a\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}y-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\end{eqnarray}\)
\( x \) と \( y \) を入れ替えると、
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \)
よって、\( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) は、
\( f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]} \)
次に、\( f(1)=4 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a{\, \small \times \,}1+b&=&4
\\[3pt]~~~a+b&=&4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
また、\( f^{-1}(-2)=-1 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot (-2)-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&=&-1
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,a\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&=&-1
\\[5pt]~~~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,a\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right){\, \small \times \,}a&=&-1{\, \small \times \,}a
\\[5pt]~~~-2-b&=&-a
\\[5pt]~~~a-b&=&2~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&4 \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&2\\
\hline 2a&=&6
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)
これを \({\small [\,3\,]}\) の \( a+b=4 \) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~3+b&=&4
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\( a=3~,~b=1 \) となる
したがって、もとの関数は \( f(x)=3x+1 \) となる
