このページは、「逆関数の条件ともとの関数」の練習問題アーカイブページとなります。
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逆関数の条件ともとの関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 次関数 \(f(x)=ax+b\) について、\(f(3)=5~,~f^{-1}(3)=2\) であるとき、定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.19 練習16
\( f(x)=ax+b~~~\cdots {\small [\,1\,]} \)
\( y=ax+b \) とおき、\( x \) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax+b
\\[5pt]~~~-ax&=&-y+b
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-ax\,}{\,-a\,}&=&\displaystyle \frac{\,-y\,}{\,-a\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,-a\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}y-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\end{eqnarray}\)
\( x \) と \( y \) を入れ替えると、
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \)
よって、\( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) は、
\( f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}x-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]} \)
次に、\( f(3)=5 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a{\, \small \times \,}3+b&=&5
\\[3pt]~~~3a+b&=&5~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
また、\( f^{-1}(3)=2 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot 3-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&=&2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&=&2
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right){\, \small \times \,}a&=&2{\, \small \times \,}a
\\[5pt]~~~3-b&=&2a
\\[5pt]~~~2a+b&=&3~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3a+b&=&5 \\~~
-\big{)}~~~2a+b&=&3\\
\hline a&=&2\end{eqnarray}\)
これを \({\small [\,3\,]}\) の \( 3a+b=5 \) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~3{\, \small \times \,}2+b&=&5
\\[3pt]~~~6+b&=&5
\\[3pt]~~~b&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\( a=2~,~b=-1 \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(k \neq 0\) とする。関数 \(f(x)=kx+k^2\) とその逆関数 \(f^{-1}(x)\) について、\(f(1)=6~,~f^{-1}(2)=-1\) であるとき、定数 \(k\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.22 章末問題A 3
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.23 章末問題A 3
\( f(x)=kx+k^2~~~\cdots {\small [\,1\,]} \)
\( y=kx+k^2 \) とおき、\( x \) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&kx+k^2
\\[5pt]~~~-kx&=&-y+k^2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,-kx\,}{\,-k\,}&=&\displaystyle \frac{\,-y\,}{\,-k\,}+\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,-k\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}y-k\end{eqnarray}\)
\( x \) と \( y \) を入れ替えると、
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}x-k \)
よって、\( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) は、
\( f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,}x-k~~~\cdots {\small [\,2\,]} \)
次に、\( f(1)=6 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~k{\, \small \times \,}1+k^2&=&6
\\[3pt]~~~k^2+k-6&=&0
\\[3pt]~~~(k+3)(k-2)&=&0
\\[3pt]~~~k&=&-3~,~2~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
また、\( f^{-1}(2)=-1 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k\,} \cdot 2-k&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,k\,}-k&=&-1
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,k\,}-k\right){\, \small \times \,}k&=&-1{\, \small \times \,}k
\\[5pt]~~~2-k^2&=&-k
\\[5pt]~~~k^2-k-2&=&0
\\[3pt]~~~(k+1)(k-2)&=&0
\\[3pt]~~~k&=&-1~,~2~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) をともに満たす \( k \) の値は、
\( k=2 \)
したがって、\( k=2 \) となる
