- 数学Ⅲ｜関数「合成関数の求め方」の基本例題解説ページです。
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問題｜合成関数の求め方
関数 18\(f(x)=3x+1~,~g(x)=2x^{2}\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) の求め方は？また、\(f(x)=9^{x}~,~g(x)=\log_{3}x\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
合成関数の求め方
Point：合成関数の求め方
① \(f(x)\) の値域と \(g(x)\) の定義域を調べて、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるか確認する。
※ 含まれない場合は、\(f(x)\) の値が \(g(x)\) の定義域に含まれるような \(x\) の範囲を求める。
② 関数 \(y=g(x)\) の \(x\) の値に \(f(x)\) を代入すると合成関数 \((g\circ f)(x)\) が得られる。
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\)
※ 一般的に \((f\circ g)(x)\) とは一致しない。
合成関数 \((g\circ f)(x)\) は、
① \(f(x)\) の値域と \(g(x)\) の定義域を調べて、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるか確認する。
※ 含まれない場合は、\(f(x)\) の値が \(g(x)\) の定義域に含まれるような \(x\) の範囲を求める。
② 関数 \(y=g(x)\) の \(x\) の値に \(f(x)\) を代入すると合成関数 \((g\circ f)(x)\) が得られる。
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\)
※ 一般的に \((f\circ g)(x)\) とは一致しない。
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詳しい解説｜合成関数の求め方
関数 18\(f(x)=3x+1~,~g(x)=2x^{2}\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) の求め方は？また、\(f(x)=9^{x}~,~g(x)=\log_{3}x\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\(f(x)=3x+1\) について、
定義域は実数全体で、値域も実数全体である
\(g(x)=2x^2\) について、
定義域は実数全体で、値域は \(g(x){\small ~≧~}0\) である
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\) となり、
\(g(x)=2x^2\) の \(x\) の値に \(f(x)=3x+1\) を代入するので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&g(3x+1)
\\[3pt]~~~&=&2(3x+1)^2\end{eqnarray}\)
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\((f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)\) となり、
\(f(x)=3x+1\) の \(x\) の値に \(g(x)=2x^2\) を代入するので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&f(2x^2)
\\[3pt]~~~&=&3(2x^2)+1
\\[3pt]~~~&=&6x^2+1\end{eqnarray}\)
したがって、合成関数は、
\((g\circ f)(x)=2(3x+1)^2\)
\((f\circ g)(x)=6x^2+1\)
となる
\(f(x)=9^{x}~,~g(x)=\log_{3}x\) のとき
\(f(x)=9^{x}\) について、
定義域は実数全体で、値域は \(f(x)\gt0\) である
\(g(x)=\log_{3}x\) について、
定義域は \(x\gt0\) で、値域は実数全体である
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\) となり、
\(g(x)=\log_{3}x\) の \(x\) の値に \(f(x)=9^{x}\) を代入するので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&g(9^{x})
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}9^{x}
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}(3^2)^{x}
\\[3pt]~~~&=&\log_{3}3^{2x}
\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\((f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)\) となり、
\(f(x)=9^{x}\) の \(x\) の値に \(g(x)=\log_{3}x\) を代入するので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&f(\log_{3}x)
\\[3pt]~~~&=&9^{\log_{3}x}
\\[3pt]~~~&=&(3^2)^{\log_{3}x}
\\[3pt]~~~&=&\left(3^{\log_{3}x}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&x^2\end{eqnarray}\)
※ \(\log_{3}x=t\) とおくと \(3^t=x\) となるので、\(3^{\log_{3}x}=x\)
ただし、\(g(x)\) の定義域より \(x\gt0\) である
したがって、合成関数は、
\((g\circ f)(x)=2x\)
\((f\circ g)(x)=x^2~~(\,x\gt0\,)\)
となる
