- 数学Ⅲ｜関数「合成関数の定義域」の基本例題解説ページです。
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問題｜合成関数の定義域
関数 19☆\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2~,~g(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) とそれぞれの定義域の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
合成関数の定義域
Point：合成関数の定義域合成関数 \((g\circ f)(x)\) の定義域の調べ方は、
① それぞれの関数の定義域と値域を調べる。
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2\) の
定義域は \(x\neq 0\) 、値域は \(y\neq 2\)
\(g(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) の
定義域は \(x\neq 1\) 、値域は \(y\neq 0\)
※ ここで、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれない場合↓
② \(g(x)\) の定義域を \(f(x)\) が満たす式を立て、この式を満たす \(x\) の範囲を求める。
\(g(x)\) の条件 \(x\neq 1\) より、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2\neq 1~\Leftrightarrow ~x\neq -1\)
③ 合成関数 \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) を求める。
\(g(f(x))=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2-1\,}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1+x\,}\)
④ 定義域は \(f(x)\) の定義域かつ②の \(x\) の範囲となる。
\(x\neq 0\) かつ \(x\neq -1\) となる。
① それぞれの関数の定義域と値域を調べる。
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2\) の
定義域は \(x\neq 0\) 、値域は \(y\neq 2\)
\(g(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) の
定義域は \(x\neq 1\) 、値域は \(y\neq 0\)
※ ここで、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれない場合↓
② \(g(x)\) の定義域を \(f(x)\) が満たす式を立て、この式を満たす \(x\) の範囲を求める。
\(g(x)\) の条件 \(x\neq 1\) より、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2\neq 1~\Leftrightarrow ~x\neq -1\)
③ 合成関数 \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) を求める。
\(g(f(x))=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2-1\,}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1+x\,}\)
④ 定義域は \(f(x)\) の定義域かつ②の \(x\) の範囲となる。
\(x\neq 0\) かつ \(x\neq -1\) となる。
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詳しい解説｜合成関数の定義域
関数 19☆\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2~,~g(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)~,~(f\circ g)(x)\) とそれぞれの定義域の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2~,~g(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\) より、
\(f(x)\) の定義域は \(x\neq 0\) 、値域は \(y\neq 2\)
\(g(x)\) の定義域は \(x\neq 1\) 、値域は \(y\neq 0\)
\((g\circ f)(x)\) は、
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれないので、
\(g(x)\) の定義域を \(f(x)\) が満たす条件式を立てると、
\(g(x)\) の定義域 \(x\neq 1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2&\neq &1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}&\neq &-1
\\[5pt]~~~x&\neq &-1\end{eqnarray}\)
このとき、\((g\circ f)(x)=g(f(x))\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~g(f(x))&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,f(x)-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}x\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+1\right){\, \small \times \,}x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1+x\,}\end{eqnarray}\)
定義域は \(f(x)\) の定義域 \(x\neq 0\) かつ \(x\neq -1\) となる
したがって、
\((g\circ f)(x)=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,1+x\,}\) 、定義域 \(x\neq 0~,~x\neq -1\)
次に、\((f\circ g)(x)\) は、
\(g(x)\) の値が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\((f\circ g)(x)=f(g(x))\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~f(g(x))&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}\,}+2
\\[5pt]~~~&=&(x-1)+2
\\[3pt]~~~&=&x+1\end{eqnarray}\)
したがって、
\((f\circ g)(x)=x+1\) 、定義域 \(x\neq 1\)
