逆関数との合成関数

[証明] \( y=\sqrt{\,x\,} \) として、

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　定義域 \( x{\small ~≧~}0 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)

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\(x\) について解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sqrt{\,x\,}
\\[3pt]~~~\sqrt{\,x\,}&=&y
\\[3pt]~~~\left(\sqrt{\,x\,}\right)^2&=&y^2
\\[3pt]~~~x&=&y^2
\end{eqnarray}\)

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\(x\) と \(y\) を入れ替えると、

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　逆関数は \( f^{-1}(x)=x^{2}~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)

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合成関数 \( (f^{-1}\circ f)(x) \) は、

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\(f(x)\) の値域が \(f^{-1}(x)\) の定義域に含まれるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~(f^{-1}\circ f)(x)&=&f^{-1}\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\left\{f(x)\right\}^{2}
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{\,x\,}\right)^{2}
\\[3pt]~~~&=&x ~~~~ (\,x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)

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また、合成関数 \( (f\circ f^{-1})(x) \) は、

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\(f^{-1}(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ f^{-1})(x)&=&f\left(f^{-1}(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,f^{-1}(x)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2\,}
\\[3pt]~~~&=&|\,x\,|
\\[3pt]~~~&=&x \hspace{30pt}(\,∵~ x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)

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したがって、
　\( (f^{-1}\circ f)(x)=x \)、\( (f\circ f^{-1})(x)=x \) が成り立つ [終]