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問題｜逆関数がもとの関数と等しい条件
関数 21☆\(a^{2}+bc\neq0~,~\)\(c\neq0\) のとき、関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) の逆関数は \(f(x)\) に等しいことの証明方法は？また、関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\) について、\(f^{-1}(x)=f(x)\) が成り立つような定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
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逆関数がもとの関数と等しい条件
解法のPoint
逆関数がもとの関数と等しい条件
Point：逆関数がもとの関数と等しい条件逆関数 \(f^{-1}(x)\) と関数 \(f(x)\) が等しい条件は、
① もとの関数の定義域と値域を調べる。
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,a^2+bc\,}{\,c^2\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
定義域 \(x\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)、値域 \(y\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
② 定義域と値域に注意して、逆関数 \(f^{-1}(x)\) を求める。
\(f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\)
③ もとの関数 \(f(x)\) と等しいことを示す。
■ \(f^{-1}(x)=f(x)\) が成り立つような定数の求め方
逆関数 \(f^{-1}(x)\) を求め、\(f^{-1}(x)=f(x)\) を \(x\) についての恒等式として係数を比較する。
① もとの関数の定義域と値域を調べる。
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,a^2+bc\,}{\,c^2\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
定義域 \(x\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)、値域 \(y\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
② 定義域と値域に注意して、逆関数 \(f^{-1}(x)\) を求める。
\(f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\)
③ もとの関数 \(f(x)\) と等しいことを示す。
■ \(f^{-1}(x)=f(x)\) が成り立つような定数の求め方
逆関数 \(f^{-1}(x)\) を求め、\(f^{-1}(x)=f(x)\) を \(x\) についての恒等式として係数を比較する。
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詳しい解説｜逆関数がもとの関数と等しい条件
関数 21☆\(a^{2}+bc\neq0~,~\)\(c\neq0\) のとき、関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) の逆関数は \(f(x)\) に等しいことの証明方法は？また、関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\) について、\(f^{-1}(x)=f(x)\) が成り立つような定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
[証明] \(y=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) として、
\(a^{2}+bc\neq 0\)、\(c\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,c\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)+\displaystyle \frac{\,a^{2}\,}{\,c\,}+b\,}{\,c\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}{\,c\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}+\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,a^{2}\,}{\,c\,}+b\,}{\,c\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}+\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,a^{2}\,}{\,c\,}+b\right){\, \small \times \,}c\,}{\,c\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right){\, \small \times \,}c\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}+\displaystyle \frac{\,a^2+bc\,}{\,c^2\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2+bc\,}{\,c^2\left(x-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\right)\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\end{eqnarray}\)
これより、
定義域 \(x\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)、値域 \(y\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
逆関数 \(f^{-1}(x)\) は、
\(y=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) を \(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}
\\[5pt]~~~y(cx-a)&=&ax+b
\\[3pt]~~~cxy-ay&=&ax+b
\\[3pt]~~~cxy-ax&=&ay+b
\\[3pt]~~~(cy-a)x&=&ay+b\end{eqnarray}\)
ここで、\(y\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}~\Leftrightarrow ~cy-a\neq 0\) より、
両辺を \(cy-a\) で割ると、
\(\hspace{44pt}x=\displaystyle \frac{\,ay+b\,}{\,cy-a\,}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
\(\hspace{44pt}y=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\)
よって、
\(f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) となり、
したがって、
関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) の逆関数は \(f(x)\) に等しい [終]
【別解】
関数 \(f(x)\) とその逆関数 \(f^{-1}(x)\) の合成関数 \((f^{-1}\circ f)(x)\) は \(x\) となることより、
\((f\circ f)(x)=x\) となることを示せば、逆関数がもとの関数 \(f(x)\) と等しいことがいえる。
逆関数との合成関数の条件はこちらから↓
[証明] \(f(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) において、
定義域 \(x\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)、値域 \(y\neq \displaystyle \frac{\,a\,}{\,c\,}\)
これより、\(f(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ f)(x)&=&f\left(f(x)\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a \cdot \displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}+b\,}{\,c \cdot \displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a(ax+b)+b(cx-a)\,}{\,c(ax+b)-a(cx-a)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2x+ab+bcx-ab\,}{\,acx+bc-acx+a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(a^2+bc)x\,}{\,a^2+bc\,}
\\[5pt]~~~&=&x\end{eqnarray}\)
これと、関数 \(f(x)\) とその逆関数 \(f^{-1}(x)\) の合成関数は、\((f^{-1}\circ f)(x)=x\) となることより、
\(f(x)=f^{-1}(x)\) となる
したがって、
関数 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,cx-a\,}\) の逆関数は \(f(x)\) に等しい [終]
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\) について、
\(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\) として、分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-a)+2a+1\,}{\,x-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-a)\,}{\,x-a\,}+\displaystyle \frac{\,2a+1\,}{\,x-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2a+1\,}{\,x-a\,}+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(2a+1=0\) のとき、\(y=2\) の定数関数となり逆関数をもたないので、
\(2a+1\neq0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
これより、
定義域 \(x\neq a\)、値域 \(y\neq 2\)
\(y=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\) を \(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}
\\[5pt]~~~y(x-a)&=&2x+1
\\[3pt]~~~xy-ay&=&2x+1
\\[3pt]~~~xy-2x&=&ay+1
\\[3pt]~~~(y-2)x&=&ay+1\end{eqnarray}\)
ここで、\(y\neq 2~\Leftrightarrow ~y-2\neq 0\) より、
両辺を \(y-2\) で割ると、
\(\hspace{44pt}x=\displaystyle \frac{\,ay+1\,}{\,y-2\,}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
\(\hspace{44pt}y=\displaystyle \frac{\,ax+1\,}{\,x-2\,}\)
よって、
\(f^{-1}(x)=\displaystyle \frac{\,ax+1\,}{\,x-2\,}\)
\(f^{-1}(x)=f(x)\) が \(x\) についての恒等式となるので、
\(\hspace{44pt}\displaystyle \frac{\,ax+1\,}{\,x-2\,}=\displaystyle \frac{\,2x+1\,}{\,x-a\,}\)
両辺に \((x-2)(x-a)\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~(ax+1)(x-a)&=&(2x+1)(x-2)
\\[3pt]~~~ax^2-a^2x+x-a&=&2x^2-4x+x-2
\\[3pt]~~~ax^2+(1-a^2)x-a&=&2x^2-3x-2\end{eqnarray}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=2\\1-a^2=-3\\-a=-2
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これを解くと、\(a=2\) となり、\({\small [\,1\,]}\) を満たす
したがって、\(a=2\) となる
