- 数学Ⅲ｜関数「合成関数が一致する条件と定数の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜合成関数が一致する条件と定数の値
関数 22☆関数 \(f(x)=ax+1~,~\)\(g(x)=3x+a\) において、\((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) が常に成り立つとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
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合成関数が一致する条件と定数の値
解法のPoint
合成関数が一致する条件と定数の値
Point：合成関数が一致する条件と定数の値\((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) が常に成り立つ条件は、
① それぞれの合成関数 \((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) を求める。
\((f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)=3ax+a^2+1\)
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=3ax+3+a\)
② \((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) の式を \(x\) の恒等式と考えて、未知数 \(a\) の値を求める。
\(3ax+a^2+1=3ax+3+a\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+1&=&3+a
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
① それぞれの合成関数 \((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) を求める。
\((f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)=3ax+a^2+1\)
\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=3ax+3+a\)
② \((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) の式を \(x\) の恒等式と考えて、未知数 \(a\) の値を求める。
\(3ax+a^2+1=3ax+3+a\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+1&=&3+a
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜合成関数が一致する条件と定数の値
関数 22☆関数 \(f(x)=ax+1~,~\)\(g(x)=3x+a\) において、\((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) が常に成り立つとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\(f(x)=ax+1~,~\)\(g(x)=3x+a\) より、
定義域はともに実数全体で、値域は実数全体に含まれる
よって、\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((f\circ g)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&a \cdot g(x)+1
\\[3pt]~~~&=&a(3x+a)+1
\\[3pt]~~~&=&3ax+a^2+1\end{eqnarray}\)
また、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((g\circ f)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot f(x)+a
\\[3pt]~~~&=&3(ax+1)+a
\\[3pt]~~~&=&3ax+3+a\end{eqnarray}\)
\((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) が等しいとき、
\(3ax+a^2+1=3ax+3+a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
この式が \(x\) の恒等式となるので、係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+1&=&3+a
\\[3pt]~~~a^2+1-3-a&=&0
\\[3pt]~~~a^2-a-2&=&0
\\[3pt]~~~(a-2)(a+1)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-1~,~2\) となる
