このページは、「合成関数が一致する条件と定数の値」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
合成関数が一致する条件と定数の値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a~,~b~,~p~,~q~,~r\) は定数で、\(a \neq 0~,~p \neq 0\) とする。\(2\) つの関数 \(f(x)=ax+b~,~\)\(g(x)=px^2+qx+r\) について、合成関数 \((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) が一致するとき、\(a~,~b~,~p~,~q~,~r\) の満たすべき条件を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.23 演習問題B 7
\(f(x)=ax+b~,~\)\(g(x)=px^2+qx+r\) より、
定義域はともに実数全体で、値域は実数全体に含まれる
よって、\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((f\circ g)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&a \cdot g(x)+b
\\[3pt]~~~&=&a(px^2+qx+r)+b
\\[3pt]~~~&=&apx^2+aqx+ar+b\end{eqnarray}\)
また、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((g\circ f)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&p\left\{\,f(x)\,\right\}^2+q \cdot f(x)+r
\\[3pt]~~~&=&p(ax+b)^2+q(ax+b)+r
\\[3pt]~~~&=&p(a^2x^2+2abx+b^2)+aqx+bq+r
\\[3pt]~~~&=&a^2px^2+2abpx+b^2p+aqx+bq+r
\\[3pt]~~~&=&a^2px^2+(2abp+aq)x+b^2p+bq+r\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&p\left\{\,f(x)\,\right\}^2+q \cdot f(x)+r
\\[3pt]~~~&=&p(ax+b)^2+q(ax+b)+r
\\[3pt]~~~&=&p(a^2x^2+2abx+b^2)+aqx+bq+r
\\[3pt]~~~&=&a^2px^2+2abpx+b^2p+aqx+bq+r
\\[3pt]~~~&=&a^2px^2+(2abp+aq)x+b^2p+bq+r\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) が等しいとき、
\(apx^2+aqx+ar+b=a^2px^2+(2abp+aq)x+b^2p+bq+r~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この式が \(x\) の恒等式となるので、係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
ap=a^2p~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\ aq=2abp+aq~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\\ ar+b=b^2p+bq+r~~~\cdots {\small [\,4\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~ap&=&a^2p
\\[3pt]~~~a^2p-ap&=&0
\\[3pt]~~~ap(a-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(a \neq 0~,~p \neq 0\) より、\(a=1\)
また、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~aq&=&2abp+aq
\\[3pt]~~~2abp&=&0\end{eqnarray}\)
\(a \neq 0~,~p \neq 0\) より、\(b=0\)
\(a=1~,~b=0\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot r+0&=&0^2 \cdot p+0 \cdot q+r
\\[3pt]~~~r&=&r\end{eqnarray}\)
これは \(p~,~q~,~r\) の値に関係なく成り立つ
したがって、\(a=1~,~b=0\) となる（\(p~,~q~,~r\) は任意）
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(2\) つの関数 \(f(x)=ax-3~,~\)\(g(x)=-x+a\) について、\((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\) が常に成り立つような定数 \(a\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.62 練習問題A 3
\(f(x)=ax-3~,~\)\(g(x)=-x+a\) より、
定義域はともに実数全体で、値域は実数全体に含まれる
よって、\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((f\circ g)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&a \cdot g(x)-3
\\[3pt]~~~&=&a(-x+a)-3
\\[3pt]~~~&=&-ax+a^2-3\end{eqnarray}\)
また、\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、合成関数 \((g\circ f)(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&-f(x)+a
\\[3pt]~~~&=&-(ax-3)+a
\\[3pt]~~~&=&-ax+3+a\end{eqnarray}\)
\((f\circ g)(x)\) と \((g\circ f)(x)\) が等しいとき、
\(-ax+a^2-3=-ax+3+a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
この式が \(x\) の恒等式となるので、係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2-3&=&3+a
\\[3pt]~~~a^2-3-3-a&=&0
\\[3pt]~~~a^2-a-6&=&0
\\[3pt]~~~(a-3)(a+2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-2~,~3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-2~,~3\) となる
