このページは、「逆関数との合成関数」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
逆関数との合成関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=\sqrt{\,x-1\,}\) とその逆関数 \(f^{-1}(x)\) について、\((f^{-1}\circ f)(x)=x\) が成り立つことを示せ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.22 問題 6
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
[証明] \( y=\sqrt{\,x-1\,} \) として、
定義域 \( x{\small ~≧~}1 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
\(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sqrt{\,x-1\,}
\\[3pt]~~~\sqrt{\,x-1\,}&=&y
\\[3pt]~~~\left(\sqrt{\,x-1\,}\right)^2&=&y^2
\\[3pt]~~~x-1&=&y^2
\\[3pt]~~~x&=&y^2+1
\end{eqnarray}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
逆関数は \( f^{-1}(x)=x^{2}+1~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
合成関数 \( (f^{-1}\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(f^{-1}(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f^{-1}\circ f)(x)&=&f^{-1}\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\left\{f(x)\right\}^{2}+1
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{\,x-1\,}\right)^{2}+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)+1
\\[3pt]~~~&=&x ~~~~ (\,x{\small ~≧~}1\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( (f^{-1}\circ f)(x)=x \) が成り立つ [終]
定義域 \( x{\small ~≧~}1 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
\(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sqrt{\,x-1\,}
\\[3pt]~~~\sqrt{\,x-1\,}&=&y
\\[3pt]~~~\left(\sqrt{\,x-1\,}\right)^2&=&y^2
\\[3pt]~~~x-1&=&y^2
\\[3pt]~~~x&=&y^2+1
\end{eqnarray}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
逆関数は \( f^{-1}(x)=x^{2}+1~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
合成関数 \( (f^{-1}\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(f^{-1}(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f^{-1}\circ f)(x)&=&f^{-1}\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\left\{f(x)\right\}^{2}+1
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{\,x-1\,}\right)^{2}+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)+1
\\[3pt]~~~&=&x ~~~~ (\,x{\small ~≧~}1\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( (f^{-1}\circ f)(x)=x \) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(f(x)=\sqrt{\,x\,}~,~\)\(g(x)=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) について、\((f\circ g)(x)~,~\)\((g\circ f)(x)\) がそれぞれの定義域において \((f\circ g)(x)=x~,~\)\((g\circ f)(x)=x\) となることを確かめよ。
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.21 練習17
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
[証明] \( f(x)=\sqrt{\,x\,} \) は、
定義域 \( x{\small ~≧~}0 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
\( g(x)=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,) \) は、
定義域 \( x{\small ~≧~}0 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
合成関数 \( (f\circ g)(x) \) は、
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,g(x)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2\,}
\\[3pt]~~~&=&|\,x\,|
\\[3pt]~~~&=&x \hspace{30pt}(\,∵~ x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)
また、合成関数 \( (g\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\left\{f(x)\right\}^{2}
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{\,x\,}\right)^{2}
\\[3pt]~~~&=&x ~~~~ (\,x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( (f\circ g)(x)=x \)、\( (g\circ f)(x)=x \) が成り立つ [終]
定義域 \( x{\small ~≧~}0 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
\( g(x)=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,) \) は、
定義域 \( x{\small ~≧~}0 \)、値域 \( y{\small ~≧~}0 \)
合成関数 \( (f\circ g)(x) \) は、
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,g(x)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2\,}
\\[3pt]~~~&=&|\,x\,|
\\[3pt]~~~&=&x \hspace{30pt}(\,∵~ x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)
また、合成関数 \( (g\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\left\{f(x)\right\}^{2}
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{\,x\,}\right)^{2}
\\[3pt]~~~&=&x ~~~~ (\,x{\small ~≧~}0\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( (f\circ g)(x)=x \)、\( (g\circ f)(x)=x \) が成り立つ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(f(x)=2^x~,~\)\(g(x)=\log_{2}x\) であるとき、合成関数 \((g\circ f)(x)\) と \((f\circ g)(x)\) を求めよ。また、それぞれの定義域を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.19 問14
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
\( f(x)=2^x \) は、
定義域 実数全体、値域 \( y\gt0 \)
\( g(x)=\log_{2}x \) は、
定義域 \( x\gt0 \)、値域 実数全体
合成関数 \( (g\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}f(x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^x
\\[3pt]~~~&=&x
\end{eqnarray}\)
定義域は \(f(x)\) の定義域と同じ実数全体
また、合成関数 \( (f\circ g)(x) \) は、
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&2^{g(x)}
\\[3pt]~~~&=&2^{\log_{2}x}
\\[3pt]~~~&=&x
\end{eqnarray}\)
定義域は \(g(x)\) の定義域と同じ \( x\gt0 \)
したがって、
\( (g\circ f)(x)=x \)、定義域は実数全体
\( (f\circ g)(x)=x \)、定義域は \( x\gt0 \)
定義域 実数全体、値域 \( y\gt0 \)
\( g(x)=\log_{2}x \) は、
定義域 \( x\gt0 \)、値域 実数全体
合成関数 \( (g\circ f)(x) \) は、
\(f(x)\) の値域が \(g(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(g\circ f)(x)&=&g\left(f(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}f(x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^x
\\[3pt]~~~&=&x
\end{eqnarray}\)
定義域は \(f(x)\) の定義域と同じ実数全体
また、合成関数 \( (f\circ g)(x) \) は、
\(g(x)\) の値域が \(f(x)\) の定義域に含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(f\circ g)(x)&=&f\left(g(x)\right)
\\[3pt]~~~&=&2^{g(x)}
\\[3pt]~~~&=&2^{\log_{2}x}
\\[3pt]~~~&=&x
\end{eqnarray}\)
定義域は \(g(x)\) の定義域と同じ \( x\gt0 \)
したがって、
\( (g\circ f)(x)=x \)、定義域は実数全体
\( (f\circ g)(x)=x \)、定義域は \( x\gt0 \)
